ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши.
П р и м е р 1.Вычислить центральный момент инерции
, по области, ограниченной линиями
Определим границы интегрирования
Представим двойной интеграл в виде повторного
.
Вычислим внутренний интеграл
Вычислим внешний интеграл
П р и м е р 2. Найти работу силы
вдоль линии L от точки М0 до точки M1.
Р е ш е н и е. Уравнение окружности будем рассматривать в параметрической форме
x = cos t, y = sin t.
Дифференциалы этих переменных представятся в виде
d x = − sin t·d t, d y = cos t·d t.
Найдём работу данной силы при перемещении по заданному контуру
П р и м е р 3. Пластина D задана ограничивающими её линиями
– поверхностная плотность. Найти массу пластины.
Р е ш е н и е.Площадь пластины D найдём по формуле
.
Этот двойной интеграл в декартовых координатах будет выглядеть так
.
Однако, в декартовых координатах его решать не целесообразно. Следует перейти к полярной системе координат: x = r·cos φ, y = r·sin φ (подробней смотри сдесь). Интервалы интегрирования в полярной системе координат определятся неравенствами
Далее двойной интеграл преобразуется в полярной системе координат и вычисляется так
.
П р и м е р 4. Найти объём тела и осевой момент инерции
однородного тела, ограниченного поверхностями
Вид сверху и область интегрирования изображается в виде
и представляется в виде системы неравенств
Объём тела, ограниченного указанными поверхностями вычислим двойным интегралом
.
Приведём этот интеграл к повторному интегралу
.
Вычислим первый интеграл
.
Окончательно вычислим объём
.
Тройной интеграл, по которому вычисляется осевой момент инерции Iz, предствим в виде повторного
.
Проводя последовательное интегрирование, получим в итоге конечный результат:
.
П р и м е р 5. Вычислить криволинейный интеграл 
по линии
r = a·(1 + cos φ) от точки А до точки В.
Р е ш е н и е. Указанная линия называется кардиоидой. Далее вычислим ординату у и элемент дуги в полярной системе координат. Далее имеем
З а м е ч а н и е. Вычисленный криволинейный интеграл такого вида имеет важный геометрический смасл: при помощи такого интеграла можно найти площадь поверхности вращения линии вокруг оси абсцисс. Таким образом, найдена площадь поверхности вращениякардиоиды вокруг своей оси.
Как видно из рассмотренного примера, вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определённого интеграла. Для этого необходимо учесть два момента:
- 1) необходимо найти элемент ds рассматриваемой линии,
- 2) подставить найденный элемент дуги и уравнение линии в подынтегральное выражение.
П р и м е р 6. Вычислить криволинейный интеграл
по замкнутому контуру
x2 + y2 = a2.
против хода часовой стрелки.
Р е ш е н и е. Перейдём к параметрической форме задания линии:
В этом случае
П р и м е р 7. Найти работу силы
вдоль линии
L: х2 + у2 = 1 (х ≥
0, у ≥ 0) от точки М0(1; 0) до точки M1(0; 1).
Р е ш е н и е. Уравнение линии
тогда d x = - sin t·d t, d y = cos t·d t.
Тогда
 |  |