§ 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Пример 1. Доказать, что при любом простом р > 3 число р2 — 1 делится на 24.
Решение. По свойству последовательных чисел произведение делится (p – 1)·p·( p + 1) на 3.
Так как р > 3 — простое, то на 3 делится число (p – 1)·(p + 1) = p2 - 1. Оно является произведением двух последовательных четных чисел (всякое простое число, неравное 2, — нечетное), т.е. (p – 1)·(p + 1) = 2·k·(2·k + 2) = 4·k·(k + 1), и, следовательно, оно делится на 8.
Итак, число p2 - 1 делится на взаимно простые числа 3 и 8, а значит, делится и на их произведение.
Отсюда вытекает, что число p2 - q2, где р и q — простые, большие 3, также делится на 24. В самом деле, p2 - q2 = (р2 - 1) - (q2 - 1), и каждое слагаемое делится на 24.
Пример 2. Доказать, что квадрат любого простого числа p > 5 при делении на 12 дает в остатке 1.
Решение. Натуральное число при делении на 6 может дать в остатке лишь числа 0, 1, 2, 3, 4, 5. Поэтому всякое натуральное число имеет один из следующих видов:
Пример 3. Доказать, что при любом натуральном n число A = 42n – 32n – 7 делится на 84.
Решение. Так как 84 равно произведению взаимно простых чисел 3, 4 и 7, то для решения надо доказать, что число А делится на 3, 4 и 7. Представив А в виде A = (42n - 32n) - 7, замечаем, что число 42n – 32n есть разность степеней с одинаковыми четными показателями. По следствию из теоремы Безу число 42n – 32n делится на сумму оснований 4 + 3 = 7. Таким образом, А делится на 7.
Представив А в виде A = (42n – 1) – 32n – 6, замечаем; что 42n – 1 делится на разность оснований 4 - 1 = 3. Поэтому А делится на 3.
Наконец, записав А в виде A = 42n – (32n – 1) – 8, замечаем, что 32n – 1 делится на 3 + 1 = 4, и следовательно, А делится на 4.
Пример 4. Доказать, что при любом натуральном n число
Решение. По формуле бинома Ньютона
Пример 5. Доказать, что число An = 4n + 15·n – 1 делится на 3 и на 9.
Решение. Достаточно доказать, что число An делится на 9. С этой целью применим метод индукции.
При n = 1 A1 = 4 + 15 – 1 = 18 делится на 9.
Предположим, что Ak делится на 9. Тогда
Пример 6. Доказать, что при любом n > 1 число n4 + 4 составное.
Решение. Имеем n4 + 4 = (n2 + 2)2 – 4·n2 = (n2 + 2·n + 2)·( n2 - 2·n + 2).
Если n > 1, то n2 + 2·n + 2 > 5, n2 – 2·n + 2 = (n – 1)2 + 1 > 1, т. е. число n4 + 4 разлагается на произведение двух чисел, каждое из которых не равно единице.
Пример 7. Определить показатель степени 2α в каноническом разложении 100.
Решение. Очевидно, искомое α — показатель повторения 2 в разложении 100 равно числу всех чисел от 1 до 100, делящихся на 2, 4, ..., 64.
Таким образом,
— целая часть дроби 
, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее :
Пример 8. Найти все рациональные x, для которых число
так же рационально.Решение. Положим
Число 2·x + a
при рациональном a. Имеем
где 
- любое рациональное число, удовлетворяющее условию 2·x + a ≥ 0.Пример 9. Доказать, что log23 — иррациональное число.
Решение. Предположим противное: пусть log23 — рациональное число
, где р и q — целые. Тогда
,