Равенство многочленов
Действия над многочленами
Деление углом
Схема Горнера
Теорема Безу
Следствия из теоремы Безу
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 3. ДЕЙСТВИЯ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ. ТЕОРЕМА БЕЗУ

   Пусть Р(х) и Q(x) - многочлены относительно х с любыми комплексными коэффициентами. О п р е д е л е н и е. Два многочлена Р(х) и Q(x) считаются равными (или тождественно равными):
Р(х) = Q(x)
в том лишь случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.
   Очевидно, что равные многочлены принимают при всех значениях х одинаковые значения. В курсе высшей математики доказывается и обратное: если значения двух многочленов равны при всех значениях х, то многочлены равны, т. е. их коэффициенты при одинаковых степенях х совпадают.
   Многочлены можно складывать, вычитать, умножать друг на друга. Суммой (разностью) двух многочленов Р(х) и Q(х) называется многочлен, у которого коэффициент при каждой степени х равен сумме (разности) коэффициентов при той же степени х в многочленах Р(х) и Q(x). Чтобы умножить два многочлена Р(х) и Q(x), нужно каждый член многочлена Р(х) умножить на каждый член многочлена Q(х) и результаты сложить.
   Действия сложения, вычитания и умножения многочленов обладают основными свойствами арифметических действий.
   Пусть Р(х) и D(x) - два многочлена, причем степень многочлена Р(х) не меньше степени многочлена D(x).
   Если существует многочлен Q(х) -такой, что справедливо равенство
P(x) = D(x)·Q(x),                     (7)
то говорят, что многочлен Р(х) делится (или нацело делится) на многочлен D(x). При этом Р(х) называется делимым, D(x) - делителем, a Q(x) - частным.
   Если такой многочлен Q(х) не существует, то говорят, что многочлен Р(х) не делится на многочлен D(x), и тогда рассматривают деление с остатком.
   Пусть, многочлен D(х) - степени не ниже первой.
   О п р е д е л е н и е. Разделить многочлен Р(х) на многочлен D(x) с остатком означает представить многочлен Р(х) в виде
P(x) = D(x)·Q(x) + R(x),                     (8)
где Q(x) и R(x) - многочлены, причем степень R(х) меньше степени D(x).
   В равенстве (8) Р(х) называется делимым, D(х) - делителем, Q(x) - частным и R(x) - остатком. В частности, если R(x) = 0, то получим формулу (7), т. е. Р(х) делится на D(x).
   Справедлива следующая теорема, которая приводится без доказательства.
   Теорема 1. Для любых двух многочленов Р(х) и D(x) всегда можно найти и притом однозначно многочлены Q(x) и R(x), для которых справедливо равенство (8).
   Для деления многочленов обычно применяется правило "деления углом". С этой целью располагают многочлены по убывающим степеням х и находят старший член частного Q(x) из условия, что при умножении его на старший член делителя D(х) получается старший член делимого Р(х). Найденный член частного умножают затем на делитель и вычитают из делимого. Следующий член частного определяют из условия, что он при умножении на старший член делителя дает старший член многочлена-разности, и т. д. Процесс продолжается до тех пор, пока степень новой разности не окажется меньше степени делителя. Эта последняя разность и будет остатком от деления R(x).
   П р и м е р 2. Выполнить деление, если
P(x) = x4 + 2x + x² + x³ + 1; D(x) = 1 + x².
      Р е ш е н и е. Для выполнения деления применяем правило "деления углом". Прежде всего располагаем Р(х) и D(x) по убывающим степеням х.
   Выкладки производятся так:
Отсюда Q(х) = x² + x, R(х) = х + 1. Следовательно,
x4 + x³ + x² + 2x + 1 = (x² + 1)·(x² + x) + x + 1.
   П р и м е р 3. Выполнить деление, если
P(x) = x³ − 1, D(x) = x² + x + 1.
      Р е ш е н и е. Здесь Q(x) = x − 1, R(x) = 0, так как х³ − 1 = (x − 1)·(x² + x + 1). Деление производится нацело, т. е. без остатка.
   Замечание. Не следует смешивать делимость многочленов с делимостью их значений. Например, Р(х) = х² − 1 делится на D(x) = x − 1. Однако не имеет смысла говорить о делимости их значений при х = 1, так как D(1) = 1 − 1 = 0. Многочлен Q(x) = x² + 2x + 2 не делится на R(х) = х + 3. Однако Q(2) делится на R(2).
   Деление с остатком многочлена
P(x) = a0·xn + a1·xn-1 + … + an-1·x + an                      (a0 ≠ 0)
на двучлен х - с производится следующим образом (здесь а0, a1, ..., аn, с - любые комплексные числа). Пусть
P(x) = (x - c).Q(x) + R,                     (9)
где Q(x) = b0·xn-1 + b1·xn-2 + ... + bn-2x + bn-l, a R - некоторое число, так как степень R в равенстве (9) должка быть меньше степени двучлена х - с, т. е. меньше единицы. В силу равенства (9) имеем:
a0·xn + a1·xn-1 + … + an-1·x + an = (x - c)·(b0·xn-1 + b1·xn-2 + ... + bn-2x + bn-l) + R
Сравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
a0 = b0, a1 = b1− c·b0, a2 = b2 − c·b1, … , an-1 = bn-1 − c·bn-2, an = R − c·bn-1,
откуда
a0 = b0, bk = c·bk-1 + ak                     (k = 1, 2, … ,n)                     (10)
где
bn = R.
   Из равенств (10) следует, что коэффициент bk частного Q(x) получается умножением предыдущего коэффициента bk+1 на с и прибавлением соответствующего коэффициента ak многочлена Р(х); так как R = bn = c·bn-1 + an, то и остаток находится по этому же правилу.
   Таким образом, формулы (10) позволяют, не производя "деления углом", определять коэффициенты частного Q(х) и остаток R при делении многочлена Р(х) на двучлен х - с.
   Практически вычисления производятся по следующей схеме, называемой схемой Горнера:
   П р и м е р 4. Разделить Р(х) = 2·х ³ − х + 3 на x + 1 = x − (− 1).
   Р е ш е н и е. Составим схему Горнера:
      Искомое частное Q(х) = 2х² − 2х + 1, остаток R = 2. Следовательно, 2 х ³- x + 3 = (x + 1)·(2x² − 2х + 1) + 2.
   Следующая важная теорема позволяет найти остаток от деления Р(х) на х - с, не выполняя самого процесса деления.
   Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х - с равен значению многочлена Р(х) при х = с.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Выполнив деление многочлена Р(х) на двучлен х - с, получаем равенство
P(x) = (х - с)·Q(x) + R,
где остаток R - некоторое число.
   Придавая х в этом равенстве значение с, находим
P(c) = (c - с)·Q(c) + R = R,
что и требовалось доказать.
   Замечание 1. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен а·х + b (а ≠ 0) равен значению многочлена Р(х) при x = -b/a.
   В самом деле, согласно формуле (8)
P(x) = (a·х + b)·Q(x) + R,
где R - снова число.
   Подставляя в это равенство x = − b/a, видим, что R = Р(− b/a).
   Например, остаток от деления многочлена Р(х) = 8x³ + 4x² + 1 на двучлен 2x + i согласно замечанию 1 равен числу
.
      Замечание 2. Теорема верна и в том случае, если Р(х, у, ..., z) - многочлен относительно х, у, . . . , z, а деление происходит на разность х − С (у, ..., z), где С (у, ..., z) - многочлен.
   В самом деле, роль числа с здесь играет многочлен С(у, ...., z), а вместо многочлена Р(х) имеем многочлен Р(х, у, ..., z).
   О п р е д е л е н и е. Число с называется корнем многочлена Р(х), если при значении x = с многочлен принимает значение, равное нулю, т. е. Р(с) = 0.
   Следствие из теоремы Безу. Для делимости многочлена Р(х) на двучлен х - с необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем многочлена Р(х).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть Р(х) делится на x - с. Это значит, что остаток R = 0. С другой стороны, по теореме Безу остаток R = P(с). Отсюда следует, что Р(с) = 0, т. е. с - корень многочлена Р(х).
   Достаточность. Пусть с - корень Р(х). Это значит, что Р(с) = 0. С другой стороны, по теореме Безу остаток R = P(c). Отсюда следует, что R = 0, т. е. Р (х) делится нацело на х - с.
   Из теоремы Безу вытекают и другие следствия, которые используются для разложения многочлена на множители.
   О п р е д е л е н и е. Преобразование многочлена к виду произведения двух или нескольких многочленов ненулевой степени называется разложением многочлена на множители. Если многочлен может быть разложен на множители, то он называется приводимым, в противном случае - неприводимым или неразложимым на множители.
   Очевидно, что многочлен х + 3 неприводим, на каком бы множестве - действительных или комплексных чисел его ни рассматривать. Многочлен x² + 1 неприводим на множестве действительных чисел и приводим на множестве комплексных чисел:
x² + 1 = (x + i)·(x - i).
      Задача о разложении многочлена на множители аналогична задаче о разложении целых чисел на множители. Здесь неприводимые многочлены играют роль простых чисел, а приводимые многочлены - составных чисел.
   Многочлен P(x) = a0·xn + a1·xn-1 + an-1·x + an (а0 ≠ 0) с произвольными комплексными коэффициентами приводим на множестве комплексных чисел (см. гл. III, § 4). При этом
P(x) = a0·(x - x1)·(x - x2)·…·(x - xn),
где x1, х2, ..., xn - корни многочлена Р(х).
   В частности, справедливо разложение на множители квадратного трехчлена (см. гл. III, § 5)
a·x² + b·x + c = a·(x - x1)·(x - x2),
где xl и х2 - корни трехчлена a·x² + b·x + c.
   Рассмотрим вопрос о разложении на множители многочлена вида
P(x) = xm ± cm.
      Из теоремы Безу вытекает:
  1. Многочлен хm - сm делится на двучлен х - с при любом натуральном m, т, е. разность одинаковых степеней делится на разность их оснований.
  2. Многочлен хm - сm делится на х + с при любом четном m, т. е. разность одинаковых четных степеней делится на сумму их оснований.
  3. Многочлен хm + сm делится на х + с при любом нечетном т, т. е. сумма одинаковых нечетных степеней делится на сумму их оснований.
      Докажем, например, последнее утверждение. В самом деле, пусть Р(х) = хm + сm. Замечая, что
Р(− с) = (− с)m + сm и (− с)m = − cm
при нечетных m, получаем:
Р(− с) = − сm + сm
Следовательно, Р (х) делится на x − (− с) = х + с. Аналогично доказываются первые два утверждения.
   Выполняя деление (по правилу "деления углом" или по схеме Горнера), нетрудно получить, что
хm - cm = (х- с)·(xm-1 + c·xm-2 + … + cm-2·x + cm-1).
      Чтобы получить частные от деления хm - сm на х + с при m четном и от деления хm + сm на х + с при m нечетном, заменим в полученном выше равенстве число с на (-с):
хm - cm = (х + с)·(xm-1 − c·xm-2 + c²·xm-3− … + cm-2·x − cm-1), (m - четное число),
хm + cm = (х + с)·(xm-1 − c·xm-2 + c²·xm-3 − … − cm-2·x + cm-1), (m - нечетное число).
        Советуем читателю доказать, что:

1) сумма одинаковых хm - cm степеней не делится на разность их оснований х - с;
2) разность одинаковых нечетных степеней не делится на сумму их оснований;
3) сумма одинаковых четных степеней не делится на сумму их оснований.

      Существуют различные способы разложения многочлена на множители (см. гл. II § 4). Одним из таких способов является так называемый метод неопределенных коэффициентов. Идея его состоит в следующем.
   Пусть нам известно, что в результате некоторых преобразований получается выражение определенного вида и неизвестны лишь коэффициенты в этом выражении. Тогда эти коэффициенты обозначают буквами и рассматривают как неизвестные. Затем для определения этих неизвестных составляется система уравнений.
   Например, в случае многочленов эти уравнения составляют из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях х у двух равных многочленов.
   Поясним сказанное на следующем примере.
   П р и м е р 4. Методом неопределенных коэффициентов показать, что выражение (x + 1)·(x + 2)·(х + 3)·(x + 4) + 1 есть квадрат трехчлена.
   Р е ш е н и е. Если данное выражение есть квадрат трехчлена, то справедливо равенство
(x + 1)·(x + 2)·(х + 3)·(x + 4) + 1 = (x² + a·x + b)²,
где а и b - искомые коэффициенты.
   Раскрывая в этом равенстве скобки и сравнивая коэффициенты при х³ и х² в левой и правой части, получаем систему
откуда находим а = 5, b = 5. Убеждаемся, что при этих значениях а и b также совпадают коэффициенты при х и х0.
   Итак, данное выражение равно (х² + 5x + 5)².