Косинус половинного угла
Синус половинного угла
Тангенс половинного угла (1)
Котангенс половинного угла (1)
Тангенс половинного угла (2)
Тангенс половинного угла (3)
Котангенс половинного угла (2)
Котангенс половинного угла (3)
Универсвльная тригонометрическая замена (1)
Универсвльная тригонометрическая замена (2)
Универсвльная тригонометрическая замена (3)
Универсвльная тригонометрическая замена (4)
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА.
ВЫРАЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА

   Заменяя в равенствах (28) и (29) α на α/2 и извлекая корень, получаем
,                        (34)
.                        (35)
Разделив тождество (35) на (34), имеем
,                        (36)
.                        (37)
Знак перед радикалом берется в зависимости от знака соответствующей функции аргумента α/2 (а не α).
   Наряду с формулой (36), которая выражает через cos α иррационально, имеют место два тождества, выражающие его через sin α и cos α рационально, а именно
откуда, согласно формулам (12) и (28) следует, что
.                        (38)
Далее,
откуда, согласно формулам (12) и (29) следует, что
.                        (39)
Аналогично доказываются тождества
.                        (40)
.                        (41)
   В некоторых случаях существенную пользу приносят формулы, выражающие тригонометрические функции аргумента α через .
   Разделив числители и знаменатели правой части тождеств
на получаем равенства
,                        (42)
,                        (43)
справедливые для любого α/2 ≠ π/2 + π k.
   Заменяя в равенстве (15) α на α/2, имеем
,                        (44)
и, следовательно,
,                        (45)
Отметим, что все тригонометрические функции аргумента а выражаются через рационально.