Произведение косинусов
Произведение синусов
Произведение синуса на косинус
Понижение квадрата
Понижение куба
Понижение любой степени
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 4. Формулы преобразования произведения синусов и косинусов в сумму.
Формулы понижения степени

(Формулы понижения степени)
   Складывая и вычитая почленно равенства (3) и (4), получаем тождества
                        (25)
                        (26)
справедливые для любых α и β. Аналогично, складывая равенства (7) и (8), получаем тождество
,                        (27)
также справедливое для любых α и β.
   Полагая в формулах (25) и (26) β = α и учитывая, что cos 0 = 1, находим
,                        (28)
.                        (29)
Далее, имеем
Раскрывая скобки и преобразуя произведение cos 2α·cos α no формуле (25), находим
.                        (30)
Аналогично имеем
.                        (31)
Таким же способом можно получить формулы для cos4 α, sin4 α и т. д.
   Замечание. Формулы (28) - (31) можно также получить из равенств (14), (17) и (18).
   Укажем общий метод получения формул для понижения степеней cosn α и sinn α.
   Полагая a = cos α + i sin α, b = cos α - i sin α, имеем
Согласно формуле Муавра (см. гл. I, § 6) для любого натурального n
an = (cos α + i sin α)n = cos n α + i sin n α
bn = (cos α - i sin α)n = cos n α - i sin n α
Отсюда находим
Следовательно,
.                        (33)
Группируя в каждой из скобок члены, равноудаленные от концов, и используя соотношения (33), получаем искомые формулы. Например,


  2. .

  3. .