ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ БЕЗ ТАБЛИЦ
Конечно, не всякое тригонометрическое выражение от числовых значений аргументов можно вычислить без таблиц. Однако в некоторых случаях удается преобразовать заданное тригонометрическое выражение или к числу, или к тригонометрическим функциям аргументов 
и т. д. Значения тригонометрических
функций этих аргументов учащийся должен уметь находить без таблиц (см. гл. X, § 6).
Пример 1. Вычислить без таблиц
А = ctg 7°,5 + tg 67°,5 - tg 7°,5 - ctg 67°,5.
Решение. Группируя тангенсы и котангенсы, получаем
Пример 2. Вычислить без таблиц
.
Решение. Используя формулу 
и формулы приведения, преобразуем каждое слагаемое данного выражения. Получаем
Чтобы вычислить значение произведения косинусов от аргументов, образующих геометрическую прогрессию со знаменателем q = 2, полезно это произведение умножить и разделить на синус наименьшего аргумента и затем, применяя последовательно несколько раз формулу 2 sin α·cos α = sin 2α, свернуть его.
Пример 3. Вычислить без таблиц
А = cos 12°·cos 24°·cos 36°·cos 48°·cos 60°·cos 72°·cos 84°.
Решение. Замечая, что cos 84° = - cos 96°, разобьем данное произведение на два: А = А1·А2·cos 60°, где выражения А1 = - cos 12°·cos24°·cos48°·cos96°,
A2 = cos 36°·cos72°, и вычислим каждое из них:
Окончательно, 
Если аргументы, стоящие под знаком косинусов, не образуют геометрическую прогрессию, то следует разложить произведение тригонометрических функций в сумму, заменяя при этом известные значения функций числами. Иногда это приводит к цели.
Пример 4. Вычислить без таблиц
A = cos 5°·cos 55°·cos 65°.
Решение. Последовательно применяем формулу перехода от произведения к сумме:
Чтобы вычислить значение суммы синусов или косинусов от аргументов, образующих арифметическую прогрессию с разностью d, полезно каждое слагаемое этой суммы умножить и разделить на 
и затем получившиеся произведения преобразовать в сумму.
Пример 5. Вычислить без таблиц
Решение. Аргументы образуют арифметическую прогрессию с разностью 
. Согласно указанию, имеем
После приведения подобных членов получаем
или
т.е. А = 1/2.
Если в заданное выражение входят тригонометрические функции углов 
то тогда удается путем различных преобразований свести эту задачу к вычислению выражения cos 36°·cos 72°, которое равно 1/4 (см. пример 3).
Пример 6. Вычислить без таблиц выражение
tg2 36°·tg2 72°.
Решение. Имеем
