Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ

   Для того чтобы при вычислении числовых значений выражений можно было бы пользоваться таблицей логарифмов, нужно это выражение представить в виде произведений. Это особенно важно при решении вычислительных задач по геометрии.
   Пример 1. Преобразовать в произведение следующие выражения:
1) A = l + tg 67° + tg 68°; 2) .
   Решение 1. Используя формулу
tg α + tg β = (l - tg α·tg β)·tg (α + β),
находим
tg 67° + tg 68° = (1 - tg 67°·tg 68°)·tg (67° + 68°) = - 1 + tg 67°·tg 68°.
Следовательно, A = tg 67°·tg 68°.
2. Приведем выражение к общему знаменателю и каждое из слагаемых числителя представим в виде суммы:
Теперь числитель представим в виде произведения и окончательно получим
   В ряде случаев при преобразовании в произведение целесообразно вводить вспомогательный аргумент. Для выражений вида, a sin α + b cos α подобный метод подробно изложен в главе X.
   При этом полезно помнить, что:
   Пример 2. Преобразовать в произведение следующие выражения:    Решение. 1. Понижая степень первого слагаемого, имеем
2. Предварительно упрощаем данное выражение. Обозначая первое слагаемое через В1, имеем
(cos 2α ≠ 0, так как в противном случае В1, а следовательно, и В не имеет смысла). Тогда
Ho
поэтому
(cos α ≠ 0, так как в противном случае tg α, а следовательно, и В не имеет смысла).
   Вспомогательный аргумент может быть любым острым углом. Его всегда можно найти по таблицам тригонометрических функции.
   Пример 3. Введением вспомогательного угла преобразовать в произведение выражения:
   Решение.
  1. Замечая, что , подберем острый угол φ такой, что . Тогда
    для всех α, для которых .
  2. Если слепо следовать методу решения предыдущего примера, то ничего не получится. Поэтому поступим иным образом. Представляя В в виде
    подберем острый угол φ такой, что . Тогда
   Пример 4. Преобразовать в произведение выражение
   Решение. Множество допустимых значений данного выражения состоит из тех значений а и b, для которых
Решая это неравенство, находим, что a ≥ | b |. При а = 0 также b = 0 и, следовательно, A = 0. Пусть а > 0. Тогда
где .    Полагаем . При такой замене
Если b > 0, то угол φ берем в I четверти и тогда
Если b < 0, то угол φ берем во II четверти: < φ ≤ π. При этом < φ/2 ≤ и снова
   Итак, при любом | b | ≤ а ≠ 0
где (см. гл. XII).
   Замечание. Очевидно, что вспомогательный аргумент можно вводить разными способами. При этом полученные результаты могут иметь самые различные виды.