Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ

   Рассмотрим ряд задач на доказательство наперед заданных тождеств и равенств и укажем некоторые приемы, полезные при этих доказательствах. Заметим, что и здесь каждый раз необходимо указать множество допустимых значений углов и параметров, входящих в данные выражения. В противном случае решение неполноценно.
   Часто при доказательстве тождества преобразуют одну более сложную часть к другой более простой, которая в данном случае является, так сказать, "неподвижной". При этом преобразовании нужно выбирать такие формулы, которые приводили бы к функциям и аргументам, стоящим в "неподвижной части".
   Пример 1. Доказать тождества:    Решение.
  1. Преобразуем левую часть данного выражения. Выражая cos2 2α и cos2 α через tg α, имеем
    Анализируя решение, замечаем, что это тождество справедлива для всех α ≠ + π n.
  2. Преобразуем левую часть данного выражения так, чтобы получить угол 40°, стоящий в "неподвижной части":
   Если не удается преобразовать одну часть тождества или равенства к другой части или это очень сложно, то надо попробовать преобразовать обе части к одному и тому же выражению.
   Пример 2. Доказать тождество
   Решение. Обозначая левую часть через А, а правую через В, имеем
α + β и α - β не равны + π n;
при тех же ограничениях на углы. Таким образом, А = В при условии, что α + β и α - β не равны + π n.
   Пример 3. Доказать тождество
   Решение. Множество допустимых значений произведений тангенсов состоит из всех углов α, для которых 35° + α и 25° - α не равны 90° + 180°·n. Преобразуя произведение тангенсов, которое мы обозначим через А, имеем
Таким образом, А равно первому слагаемому правой части и нам остается доказать, что второе слагаемое правой части (обозначим его через В) равно 1. В самом деле,
причем α ≠ 90° k.
   Иногда путем равносильных преобразований удается свести доказываемое тождество к очевидному или уже известному.
   Пример 4. Доказать тождество
tg α + 2 tg 2α + 4 tg 4α + 8 ctg 8α = ctg α.
   Решение. Доказываемое тождество равносильно следующему:
ctg α - tg α - 2 tg 2α - 4 tg 4α = 8 ctg 8α.
Обозначая левую часть через А и используя тождество ctg α - tg α = 2 ctg 2α (см. гл. X), имеем
А = (ctg α - tg α) -2 tg 2α - 4 tg 4α = 2 (ctg 2α - tg 2α) - 4 tg 4α = 4 (ctg 4α - tg 4α) = 8 ctg 8α ( 8α ≠ + k π).
Иногда при доказательстве тождеств удобно исходить из уже известных тождеств (основных).
   Пример 5. Доказать тождества
и
,
если 90° ≤ α ≤ 270°.
   Решение. Возьмем два основных тождества
Складывая их и вычитая, получаем два новых тождества
Так как 45° ≤ α/2 ≤ 135°, то и . Поэтому
Складывая и вычитая полученные тождества, получаем требуемое.