§ 6. УСЛОВНЫЕ РАВЕНСТВА

1. Требуется доказать некоторое соотношение между тригонометрическими функциями, если задано соотношение (одно или несколько) между аргументами.
      Пример 1. Доказать, что cos² х + cos² у + cos² z - 1 = (-1)ⁿ 2 cos х cos у·cos z, если x + y + z = n π.
      Решение. Так как х + у = n π - z, то Замечая, что cos ( π n - z) = cos z при n четном и соs ( π n - z) = - cos z при n нечетном, мы можем записать, что cos ( π n - z ) = (-l)ⁿ cos z. Тогда А = (-1)ⁿ · cos z·cos (x - у) + cos² z = [(-1)ⁿ cos(x - у) + cos z] cos z.    С другой стороны, правая часть доказываемого равенства при заданном условии приводится к тому же виду: (-1)ⁿ 2 cos х·cos у·cos z = (-1)ⁿ [cos (x + у) + cos (x - y)] cos z = (- 1)ⁿ [cos (πn - z) + cos (x - y)] cos z =
   =(-1)ⁿ [cos z·(-l)ⁿ + cos(x - y)] cos z = [(-1)ⁿ cos (x - y) + cos z] cos z.
2. Требуется доказать некоторое соотношение между тригонометрическими функциями, если даны другие соотношения (одно или несколько) также между тригонометрическими функциями тех же аргументов. При решении этих задач можно непосредственно доказывать требуемое, используя при этом заданное условие.
      Пример 2. Доказать, что ,    если    .    Решение. Множество допустимых значений состоит из всех аргументов α, не равных ·k, и β, не равных + π k. Кроме того, 2 α + β ≠ π k, где k - целое число, и m (m - n) (m + n) ≠ 0.
      Доказываемое равенство равносильно равенству или Применяя к последнему производную пропорцию, получаем или    Итак, дополнительное условие есть равенство, равносильное доказываемому, следовательно, последнее справедливо.
      В других случаях выгоднее преобразовать заданное дополнительное условие так, чтобы получить из него равенство, которое требуется доказать.
      Пример 3. Доказать, что , если sin α = A sin (α + β).
      Решение. Множество допустимых значений состоит из всех аргументов α и β, сумма которых не равна + k π. Кроме того, соs β ≠ A.
      Преобразуем заданное соотношение. Так как доказываемое равенство не содержит аргумента α, а содержит α + β, то представим его в виде α = (α + β) - β. Тогда, заменяя α в заданном равенстве, получаем sin [(α + β) - β] = A sin(α + β),
   sin (α + β) cos β - cos (α + β) sin β = A sin (α + β), или sin (α + β) (cos β - A) = cos (α + β) sin β. Деля полученное равенство на произведение cos(α + β) (cos β - A) (α + β ≠ π n + , cos β - A ≠ 0), получаем , что и требовалось доказать.
      Пример 4. Доказать, что , если    Решение. Множество допустимых значений аргументов состоит из всех x/2, α/2, α, не равных + k π, β ≠ n π и таких, что cos x ≠ cos β. Полагая (для удобства выкладок) преобразуем дополнительное условие.
      Так как , а , то имеем что после упрощения приводится к виду , или ( a² - b²)·y² = a² b²·( a² - b²). Если а² - b² ≠ 0, то у² = a²b² и у = ± а b, что в наших обозначениях означает , если .    Если а² - b² = 0, то равенство справедливо для любых допустимых у, в частности, для y = ± a b, т. е. и в этом случае .    Заметим, что в некоторых случаях выгодно перейти от заданного дополнительного соотношения между аргументами к соотношению между тригонометрическими функциями этих аргументов.
      Пример 5. Доказать, что tg α + ctg β + ctg γ = tg α·ctg β·ctg γ, если α = β + γ.
      Решение. Множество допустимых значений состоит из всех α ≠ + π n, β ≠ π n, γ ≠ π m. Требуемое получим из дополнительного условия (т. е. из равенства α = β + γ). Так как α = β + γ, то равны соответствующие тригонометрические функции этих аргументов. В данном случае выгодно рассматривать равенство тангенсов.
      Итак, tg α = tg (β + γ), т. е. . Переходя в правой части к котангенсам, находим, что , т.е. После приведения последнего тождества к общему знаменателю получаем требуемое.
3. Дополнительные условия задаются в виде нескольких равенств, из которых некоторые связывают аргументы, а другие - тригонометрические функции этих аргументов.
      Пример 6. Доказать, что
   a² = b² + c² - 2 b c cos A,
   если и A + B + C = π.    Решение. Считаем, что sin A·sin B·sin C ≠ 0. Обозначая равные отношения через t, имеем a = t·sin A, b = t·sin B, c = t·sin C. Тогда что и требовалось доказать.
4. Требуется доказать соотношение между аргументами, если задаются соотношения между тригонометрическими функциями этих аргументов.
      Пример 7. Доказать, что α + β + γ = (2 k + 1) π, если .                     (*)    Решение. Сгруппируем два первых члена равенства (*), а в ретьем слагаемом перейдем к функциям синус и косинус. Имеем:    После изменения знака в обеих частях последнего равенства олучаем    Из последнего следует, что или α + β + γ = π + 2 π k, что и требовалось доказать.