ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
§ 7. ИСКЛЮЧЕНИЕ АРГУМЕНТОВ ИЗ СИСТЕМЫ РАВЕНСТВ
Пример 1. Исключить х из системы равенств
Решение. Задачу надо понимать следующим образом: считая данные равенства справедливыми и используя свойства равенств, получить как следствие такое равенство, которое бы не содержало х.
Если рассматривать эти два равенства как уравнения относительно х, то, исключив х, мы найдем необходимое условие, которому должны удовлетворять параметры m и n, чтобы эта система была совместной (см. гл. III); однако эти условия могут быть недостаточными, поэтому вполне допустимыми являются такие преобразования, которые могут дать посторонние корни (например, возведение обеих частей уравнения в квадрат и т. д.). Общий метод исключения параметров из системы двух уравнений состоит в том, что решают одно из уравнений относительно параметра и найденное для него значение подставляют в другое. Однако неко- ? торые искусственные приемы позволяют получать нужный результат значительно быстрее.
В данном случае, возводя первое равенство в квадрат, находим
cos²x + sin²x - 2 sin x·cos x = m², или 1 - sin 2x = m².
Затем, используя второе равенство, получаем 1 - n = m². Этот результат надо понимать так: если m и n удовлетворяют найденному условию, то заведомо не существует такого х, чтобы оба равенства были одновременно справедливы. Но надо помнить, что найденное условие не является, вообще говоря, достаточным условием совместности системы, т. е. если m и n удовлетворяют найденному условию, то это еще не значит, что существует такое х, которому удовлетворяют оба уравнения одновременно. Например, при n = - 2, m = 
оба уравнения не имеют смысла.
Пример 2. Исключить углы из следующих систем равенств:
Решение.
- Возводя второе и третье равенства в квадрат и складывая их, имеем (sin²x + cos²x) + 2 (sin x·sin y + cos x·cos y) + (sin²y + cos²y) = a² + b².
Используя первое равенство, окончательно получаем 2 + 2 с =a² + b².
Хотя числа a = 2, b = 2, c = 3 удовлетворяют полученному соотношению, но при с = 3 первое уравнение теряет смысл.
- Область допустимых значений данных выражений состоит из всех φ ≠ π n и θ ≠ π k (n и k - целые). Следовательно, sin φ ≠ 0 и sin θ ≠ 0. Отсюда следует, что p ≠ 0 и q ≠ 0. В самом деле, если p = 0, то из третьего уравнения следует, что и q = 0. Но в этом случае первые два уравнения системы теряют смысл.
Переходим к решению задачи. Запишем первое равенство системы в виде
p (1 - sin²θ) + q (1 - sin² φ) = 1, или p sin² θ + q sin²φ = p + q - 1.
Возведя третье равенство в квадрат, имеем p² sin² θ = q² sin² φ. Таким образом, получаем систему
двух уравнений относительно величин sin²θ и sin² φ. Исключая из нее сначала sin² θ, затем sin² φ, получаем
Так как р ≠ 0, q ≠ 0, sin φ ≠ =0 и sin θ ≠ 0, то из этой системы следует, что и p + q ≠ 0 (в противном случае p + q = 1, что несовместно с условием p + q = 0). Поэтому
Переписав теперь второе равенство заданной системы в виде
и подставляя найденные значения sin² φ и sin² θ, после упрощения получаем (р² - q²)² = - p q.
- Возведя первое равенство в квадрат, получаем последовательно:
x² sin²α + y² cos²α - 2 x y sin α cos α = x² + y²,
x² (1 - sin²α) + y² (1 - cos²α) + 2 x y sin α cos α = 0,
x² cos²α + y² sin²α + 2 x y sin α cos α = 0,
(x cos α + y sin α)² = 0,
т. e.
x cos α + y sin α = 0.
Отсюда x² cos² α = y² sin² α. Таким образом, с одной стороны x² cos² α = y² (1 - cos² α), т. е.
,
с другой стороны, x² ( 1 - sin² α) = y² sin² α, т.е.
.
Подставляя sin² α и cos² α во второе равенство, получаем
При решении задач на исключение углов, в зависимости от выбранного способа решения, могут получаться различные результаты.
Пример 3. Исключить β, если
Решение. I способ. Складывая и вычитая данные равенства, получаем:
или
Отсюда, умножая первое равенство полученной системы на sin² α, а второе – на cos² α и складывая, имеем
4 sin² α·cos² α (sin² β + cos² β ) = (m + n)² sin² α + (m - n)² cos² α,
т. е.
sin² 2α = (m + n)² sin² α + (m - n)² cos² α.
II способ. Замечая, что β + α = (β - α) + 2 α, имеем
m = cos [(β - α) + 2 α] = cos (β - α)·cos 2α - sin (β - α)·sin 2α.
Используя второе равенство и учитывая, что 
,
получаем 
,
,