ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
ПРИЛОЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ К РЕШЕНИЮ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ФИГУР
Основными элементами треугольника называются его стороны и углы.
Из признаков равенства треугольников, доказываемых в геометрии, вытекает, что последние определяются тремя основными элементами, из которых хотя бы один должен быть стороной. В частности, прямоугольные и равнобедренные треугольники определяются двумя основными элементами, из которых хотя бы один должен быть стороной, а равносторонний треугольник определяется одним основным элементом - его стороной. Отсюда следует, что задав необходимое число основных элементов, можно по ним вычислить все остальные основные его элементы.
Чтобы решить эту задачу, необходимо знать различные соотношения между углами и сторонами треугольника.
Прежде всего перечислим все те соотношения между элементами треугольника, которые выводятся в геометрии как в виде равенств, так и в виде неравенств.
- Сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Каждый внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним не смежных.
- В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно. Стороны треугольника, лежащие против равных углов, равны и обратно - против равных углов лежат равные стороны. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
- Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности.
- Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Каждый катет является средним геометрическим между всей гипотенузой и проекцией указанного катета на эту гипотенузу.
Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла, является средним геометрическим между отрезками, на которые он делит гипотенузу.
- Квадрат стороны, лежащей против острого угла в треугольнике, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения известной стороны на проекцию на нее другой известной стороны.
Соответствующая теорема дается для квадрата стороны, лежащей против тупого угла.
Помимо приведенных соотношений между углами и сторонами треугольника, доказывается ряд свойств его специальных линий: высот, биссектрис, медиан, перпендикуляров из середин сторон, средних линий и т. д. Перечислим и их.
- Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
- Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от сторон треугольника. Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности. Кроме того, биссектриса внутреннего угла делит противолежащую сторону на части, пропорциональные двум другим прилежащим сторонам.
- Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая отсекает от каждой медианы ее две трети, считая от вершины.
- Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке.
- Перпендикуляры из середин сторон также пересекаются в одной течке, равноудаленной от всех вершин треугольника. Эта
точка является центром окружности, списанной около треугольника.
Анализируя все эти соотношения, легко увидеть, что с их помощью решаются лишь специально подобранные задачи. Например, можно по двум сторонам прямоугольного треугольника найти третью сторону (теорема Пифагора) или по заданному углу в 30°, 60° или 45° и стороне прямоугольного треугольника найти все остальные его элементы. Что касается косоугольного треугольника, то приведенная здесь теорема "работает" лишь в том случае, когда известна величина проекции одной данной стороны на другую (ее можно вычислить либо когда дана соответствующая высота, либо угол между известными сторонами равен 30° или 45°, или 60°).
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Выражения тригонометрических функций острого угла через стороны прямоугольного треугольника позволяют ввести следующие соотношения между его углами и сторонами.
- Из формул
и 
следует, что a = c·sin A и b = с·cos А, т. е. катет равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или косинус прилежащего к определяемому катету угла.
- Из формул
и 
следует, что a = b·tg A и b = a·ctg А, т. е. катет равен произведению другого катета на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к определяемому катету угла.
Простейшая задача решения треугольника состоит в том, чтобы по минимальному числу основных элементов, определяющих этот треугольник, найти остальные. Прямоугольный треугольник определяется двумя элементами; строя различные комбинации из шести основных элементов по два, среди которых имеется хотя бы одна сторона, мы получаем следующие четыре так называемые основные случаи решения прямоугольных треугольников.
- I случай. Даны катеты а и b. Найти гипотенузу с и острые углы A и B.
Решение. 1. Используя формулу , находим угол A, затем угол В: В = 90° - A.
2. Гипотенузу с находим по формуле 
. Подставляя в эти формулы численные значения данных а и b, вычисляем значение tg A. Угол А находим по таблицам. (Например, по таблице Брадиса.) Затем находим значения угла В и гипотенузы с.
Чтобы убедиться в правильности расчетов, полезно для контроля взять одну из формул, не использованную в ходе решения и содержащую искомые величины. В первом случае можно взять, например, теорему Пифагора с2 = а2 + b2.
- II случай. Даны катет а и гипотенуза с. Найти катет b и острые углы А и В.
Решение. 1. Используя формулу , находим угол А, затем В: В = 90°- А.
2. Катет b находим по формуле b = с·sin В. Формула для проверки: с2 = а2 + b2.
- III случай. Даны катет а и острый угол В. Найти катет и, гипотенузу с и угол А.
Решение. 1. Используя формулы А = 90° − В и 
, находим A и с.
2. Катет b находим по формуле b = a·tg B. Формула для проверки: а2 + b2 = с2.
- IV случай. Даны гипотенуза с и острый угол В. Найти катеты а и b и угол A.
Решение. 1. Используя формулы a = c·sin A и В = 90° − A, находим а и В.
2. Катет b находим по формуле b = с·соs A. Формула для проверки: а2 + b2 = с2.
Отметим, что предложенные способы решения этих случаев так же как и формулы для проверки не являются единственными. Важно лишь, что в качестве контроля нужно брать формулу, не использованную при ее решении.