17_3

ВВЕРХ

Коническая поверхность

Конус

Пирамида

Прямой круговой конус

Теорема 1

Теорема 2

Теорема 3

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ. КОНУС

   Определение 1. Конической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой АВ, которая непрерывно перемещается, проходя постоянно через неподвижную точку S и пересекая при этом плоскую линию MN.
   Прямая АВ называется образующей, точка S - вершиной, а линия MN - направляющей конической поверхности. Направляющая MN может быть замкнутой и незамкнутой.
   Определение 2. Конусом называется тело, которое ограничено частью замкнутой конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины S, и плоскостью Р, пересекающей эту поверхность.
   Часть секущей плоскости, выделенная конической поверхностью, называется основанием конуса. Часть конической поверхности, заключенная между его вершиной и основанием, называется боковой поверхностью конуса. Высотой конуса называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины конуса на плоскость его основания.
   Рассмотрим следующие виды конусов.

Конус, в основании которого лежит многоугольник, называется пирамидой. Боковая поверхность пирамиды состоит из треугольников с общей вершиной S.
Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник и высота проходит через центр основания.
Конус, в основании которого лежит круг и высота проходит через центр круга, называется прямым круговым.

Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное от вращения прямоугольного треугольника AOS вокруг его катета. При этом гипотенуза AS описывает коническую боковую поверхность, каждая точка гипотенузы - окружность, катет - круг (основание конуса). Поэтому в сечении прямого кругового конуса плоскостями, параллельными основанию, получаются круги. При пересечении прямого кругового конуса плоскостью, проходящей через его вершину S и пересекающей его основание, получается треугольник. Сторонами этого треугольника являются образующие конуса и хорда (в частности, диаметр) его основания. Сечение, проходящее через высоту (ось) кругового конуса, называется осевым.
Теорема 1. Если конус Т пересечь плоскостью, параллельной его основанию, то его образующая SA и высота SO разделятся этой плоскостью на пропорциональные части, т. е.

. Доказательство. Соединим точки О и А, О₁ и В, при этом О₁В || ОА, как прямые, полученные при пересечении параллельных плоскостей Р и Q третьей плоскостью ASO. В силу теоремы о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем

. что и требовалось доказать.
Следствие. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной ее основанию, то ее боковые ребра и высота разделятся этой плоскостью на пропорциональные части.
Теорема 2. Если пирамиду SABCDE пересечь плоскостью, параллельной ее основанию, то:

1) в сечении получится многоугольник A₁B₁C₁D₁E₁, подобный основанию пирамиды ABCDE;
2) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Доказательство. 1) А₁В₁ || АВ, B₁C₁ || BC, ..., как отрезки, полученные при пересечении параллельных плоскостей Р и Q плоскостями боковых граней. Поэтому Ð А₁В₁С₁ = Ð ABC, Ð B₁C₁D₁ = ÐBCD, ....
Из подобия треугольников ABS и A₁B₁S, BCS и B₁C₁S, ... имеем

… , откуда следует, что

. Итак, у многоугольников ABCDE и A₁B₁C₁D₁E₁ соответственные углы равны и стороны пропорциональны. Следовательно, фигуры A₁B₁C₁D₁E₁ и ABCDE подобны.
2. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон:

. Но

и поэтому

. Справедлива более общая теорема.
Теорема 3. Если произвольный конус К пересечь плоскостью Р, параллельной его основанию F, то площадь сечения Ф и площадь основания относятся как квадраты их расстояний от вершины конуса, т. е.