Условия для объёма
Определение объёма
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ОБЪЕМЫ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ МНОГОГРАННИКОВ,
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ, КОНУСОВ, ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ

ПОНЯТИЕ ОБ ИЗМЕРЕНИИ ОБЪЕМОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

   При измерении объема измеряемое тело сравнивают с единичным кубом, объем которого принимают за единицу (1 см3, 1 м3 и т. д.). При этом измерение объемов должно удовлетворять следующим трем условиям:
  1. Равные тела имеют равные объемы.
  2. Если тело Т содержится в теле G, то
    об. Т ≤ об. G.
  3. Если тело Т составлено из двух тел Р и G, то
    o6.Т = o6.P + o6.G.
   Поэтому если тело Т состоит из n примыкающих друг к другу единичных кубов, то естественно считать, что об. Т = n ед3.
   Рассуждая так же, как и в § 5 гл. XV, получаем, что объем куба со стороной - p/q (р и q - целые) равен ед ³.
   Пусть дано геометрическое тело Т. Наложим на него пространственную кубическую решетку, состоящую из смежных кубов со стороной (решетка ранга n). Тело, образованное из всех кубов решетки ранга n, содержащихся в Т, назовем входящим телом ранга n и обозначим . Объем в силу условия 3 равен сумме объемов всех составляющих его кубов и есть .
   Тело, образованное из всех кубов решетки, имеющих с Т хотя бы одну общую точку, называется выходящим телом ранга n. Обозначим его объем через .
   Будем давать n последовательно значения 1, 2, 3, ... . Если при некотором значении n входящее тело (а, следовательно, и выходящее ) совпадет с телом Т, то принимаем, что
oб. T = oб. = (или , так как = ).
Если такого n не существует, то процесс измельчения решетки продолжается неограниченно, и мы получаем две числовые последовательности объемов входящих и выходящих тел
   и   
   Так как каждое входящее тело ранга k содержит в себе все входящие тела меньшего ранга и все они содержатся в , то
≤ (m < k ) и ≤ k = 1, 2, …

Таким образом, последовательность монотонно возрастает и ограничена, а потому имеет конечный предел

.
   Аналогично показывается, что вторая последовательность также имеет конечный предел , так как она монотонно убывает и ограничена:
( m < k ) и ; k = 1, 2, …
   Если оба предела совпадают:
= = V,
то число V, выраженное в соответствующих кубических единицах, и принимают за объем тела Т:
oб. T = V.
   Определенный таким способом объем тела удовлетворяет всем трем условиям, сформулированным в начале параграфа.
   Замечание. Очевидно, что при измерении объема тело Т можно сравнивать не только с кубом или с телом, составленным из кубов, но также и с любыми телами, объемы которых нам известны.
   Тела, имеющие одинаковые объемы, называются равновеликими.