ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И ТРЕУГОЛЬНИКА
Теорема 1. Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон (двух измерений), т. е.
S = a·b. (12)
Доказательство. Случай 1. Пусть а и b рациональные:
.Покроем прямоугольник сеткой из квадратов со стороной равной 
и такой, что две взаимно перпендикулярные прямые сетки совпадают с двумя смежными сторонами прямоугольника. Очевидно, что в прямоугольнике полностью уложится р·r таких квадратов. Так как площадь каждого квадрата равна 
ед2, то площадь всего прямоугольника равна произведению
(ед 2).
Случай 2. Одно или оба числа а и b иррациональны. Пусть α 'n и α ''n – десятичные приближения числа а по недостатку и избытку с точностью 
соответственно, а β 'n и β ''n - аналогичные приближения числа b. На сторонах AВ_и AD данного прямоугольника отложим отрезки AВ1 = α 'n, АВ2 = α ''n, AD1 = β 'n, AD2 = β ''n и построим прямоугольники AB1C1D1 и AB2C2D2. Так как измерения этих прямоугольников рациональны, то по случаю 1
пл. AB1C1D1 = α 'n·β 'n и пл. AВ2С2D2 = α ''n·β ''n.
Очевидно, далее, что AB1C1D1 содержится в ABCD, т. е. является входящей фигурой, a AB2C2D2 содержит ABCD и, следовательно, является выходящей фигурой.
Таким образом, S 'n = α 'n·β 'n; S ''n = α ''n·β ''n. Так как
и
,
то согласно определению площади имеем
S = пл. ABCD = a·b.
Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:
, (13)
Доказательство. Допустим для простоты, что углы В и С - острые. Дополним данный треугольник до прямоугольника BCDE с основанием а и высотой h. Прямоугольник BCDE составлен из четырех треугольников BEA, BAF, FAC и CAD, причем Δ BEA = Δ BAF, а Δ FAC = Δ CAD. Согласно свойствам 3 и 1
пл. BCDE = пл. BEA + пл. BAF + пл. FАС + пл. CAD = 2 пл. BAF + 2 пл. FАС = 2 (пл. BAF + пл. FAC) = 2 пл. ABC.
Следовательно,
,
что и требовалось доказать.
Предоставляем читателю получить доказательство в случае, когда A или C – тупой, угол.
Используя теорему 2 и соотношения между элементами треугольника, получим еще несколько формул для вычисления его площади.
I. Площадь треугольника равна произведению двух его сторон на синус угла, заключенного между ними:
. (14)
Доказательство. Рассмотрим три возможных случая.
- Угол С – острый. Опустив из вершины В высоту BD = h, рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. Имеем
BD = h = a·sin C.
Тогда
.
- Угол С – тупой. Опустив из вершины В высоту BD = h на продолжение стороны АС, рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Имеем
BD = h = a·sin (180° − C) = a·sin C.
Тогда
.
- Угол С – прямой. Тогда sin C = l и h = a,
.
II. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:
S = p·r, (15)
где
.
Доказательство. Пусть О – центр вписанной в треугольник ABC окружности, r - ее радиус. Соединив центр О с вершинами А, В и С, получим треугольники АОС, ВОС и АОВ с высотами, равными r. Согласно свойству 3 площадей
пл. Δ ABС = пл. Δ АОС + пл. Δ AОB + пл. Δ ВОС = ½ b·r + ½ c·r + ½ a·r = ½ r·(a + b + c) = p·r.
III. Площадь треугольника равна произведению всех его сторон, деленному на учетверенный радиус описанной окружности, т. е.
. (16)
Доказательство. Согласно формуле (14)
.
Исключим из последнего равенства sin С. Так как
,
то
.
Теорема 3 (формула Герона). Площадь треугольника со сторонами а, b, с и полупериметром р равна выражению
. (17)
Доказательство. Согласно формуле (15) имеем
S = пл. Δ ABC = p·r.
Выражая r через стороны треугольника а, b и с, получаем
.
Тогда
,
что и требовалось доказать. ( Другое доказательство формулы Герона )
З а м е ч а н и е. Формулы (15) и (16) могут быть использованы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей, если известны стороны треугольника. (Тогда его площадь можно вычислить по формуле Герона.)