ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Пусть
, где m, n, p, q, r, s – целые. Приведем
эти дроби к общему знаменателю:
.
. На ребре АВ, равном 
, отложится m q s таких отрезков, на ребре AD, равном
, – pns таких отрезков и на ребре
AA1 – r n q отрезков. Через концы отрезков проведем плоскости, перпендикулярные соответственно сторонам АВ, AD и АА1. Эти
плоскости разобьют параллелепипед на кубы со стороной, равной
. Весь параллелепипед будет содержать mqs·pns·rnq таких кубов. Так как объем каждого куба равен 
ед3, то согласно свойству 3 объем параллелепипеда
ед3 .
и 
– десятичные приближения числа а с недостатком и избытком с точностью до 
, 
и 
– аналогичные приближения числа b; 
и 
— аналогичные приближения
ные приближения числа с. Числа , , , , и — рациональные, причем
.
и АВ" = , на прямой AD – отрезки AD' = и AD" = , на прямой AA1 – отрезки АА'1 = и АА''1 = и построим два прямоугольных параллелепипеда с ребрами АВ', AD', АА'1 и АВ", AD", АА''1. Очевидно, первый параллелепипед будет входящим, а второй – выходящим телом. Их измерения выражаются рациональными числами и по доказанному (случай 1), для их объемов 
и 
, имеем:
и 
.
,
.
Следствие. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.