адача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ЗАДАЧИ НА ПРОИЗВОЛЬНЫЕ КОМБИНАЦИИ ТЕЛ

   В предыдущем параграфе мы рассмотрели комбинации, в которых одно тело полностью вписывалось в другое. Однако нередко встречаются задачи, когда одно тело частично вписывается в другое, или специальным (указанным) образом помещено в другое, или в одно тело помещено несколько тел и т. д. Рассмотрим несколько подобных задач.
   Задача 1. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 13, 14, 15. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами в 75°. Определить радиус шара, касающегося пирамиды в точках, лежащих на сторонах основания.
   Решение. Высота пирамиды S01 проходит через центр круга, вписанного в ее основание. Пусть Е, F, Q – точки касания шара с боковыми гранями пирамиды. Они лежат на ребрах основания. Плоскость основания в пересечении с шаром дает малый круг шара, вписанный в основание ABC. Центр шара лежит на продолжении высоты пирамиды в точке О. Соединим одну из точек касания, например F, с центром шара О.
   Так как SF лежит в плоскости грани, касательной к шару, то радиус OF пл. ABS и, в частности, SF OF;, SFO1 = 75° как линейный угол двугранного угла при ребре АВ (АВ O1F и АВ SF).
   В треугольнике OO1F имеем FOO1 = SFO1 = 75°. Искомый отрезок , где O1F находится из треугольника ABC по формуле
.
Но
.
Поэтому r = 4 и, следовательно,
.
   Задача 2. Внутри правильной четырехугольной пирамиды расположен правильный тетраэдр так, что ребро CD тетраэдра лежит на диагонали основания пирамиды. Вершины А и В тетраэдра лежат на двух противоположных боковых ребрах пирамиды и ребро АВ параллельно основанию пирамиды. Найти отношение объема пирамиды к объему тетраэдра, если известно, что ребро тетраэдра равно стороне основания пирамиды.
   Решение. Так как , а , то , и задача сводится к отысканию отношения ребра тетраэдра а к высоте пирамиды H.
   По условию CD и AB – скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра. Ребро АВ лежит в осевом сечении пирамиды EFS, причем AB || EF. Отрезок ОО1 равен расстоянию между скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра и вычислен в задаче 1 § 2: . Из подобия треугольников EFS и ABS имеем , или , где , AB = a, SO = H. Поэтому
,
откуда и
.
   Задача 3. В тетраэдре ABCD ребра АВ и CD взаимно перпендикулярны и соответственно равны а и b. Общий перпендикуляр к этим ребрам равен с. В тетраэдр вписан куб так, что четыре ребра куба параллельны этому общему перпендикуляру и на каждой грани тетраэдра лежат в точности две вершины куба. Найти ребро куба.
   Решение. Из вершины С проведем СЕ АВ. Точку Е соединим с D и в получившемся треугольнике CED проведем EF CD. Так как АВ СЕ и АВ CD, то АВ пл. CDE, в частности, АВ DE и АВ EF. Последнее означает, что EF является общим перпендикуляром скрещивающихся ребер АВ и CD : EF = c.
   По условию четыре ребра куба параллельны EF. Пусть это параллельные ребра MN, PQ в нижнем основании куба и M1N1, P1Q1 – в его верхнем основании. Основания куба, будучи параллельными FE, также параллельны АВ (АВ и FE лежат в одной плоскости). Боковые ребра куба MM1, PP1, QQ1 и NN1 параллельны CD (и, следовательно, перпендикулярны АВ). На грани ABD лежат только две вершины куба – точки М1 и Р1. Нетрудно показать, что М1P1 || АВ. Противоположное ребро основания MP лежит на грани ABC и MP || АВ. На гранях ACD и BCD будут лежать боковые ребра NN1 и QQ1 соответственно. Чтобы найти ребро куба, рассмотрим сечение ECD, сечение, проходящее через верхнее основание куба, и грань ADB.
   В первом сечении Δ СDE Δ KLE. Следовательно,
,
Обозначая сторону квадрата через х, HG через у и учитывая, что CD = b и FE = c, имеем
.                     (1)
   Во втором сечении Δ RHT Δ N1HQ1:
,
или
.                     (2)
   Наконец, для грани ABD имеем: Δ ABD Δ RTD. Отсюда , или , или .
Согласно равенству (1) , поэтому
.                     (3)
Мы получили систему трех уравнений (1), (2), (3), из которой находим х. Исключая RT, имеем
Отсюда и
.
   Задача 4. В конус помещены пять равных шаров. Четыре из них лежат на основании конуса, причем каждый из этих четырех шаров касается двух других, лежащих на основании, и боковой поверхности конуса. Пятый касается боковой поверхности конуса и остальные четырех шаров. Определить объем конуса, если радиус каждого шара равен R.
   Решение. Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину и центры двух шаров, касающихся основания, но не касающихся друг друга. Это равнобедренный треугольник, в котором помещены три равных круга радиуса R: верхний круг с центром в точке 05 касается боковых сторон треугольника (в точках Е и F) и нижних кругов (в точках Р и Q). Нижние круги касаются основания в точках К и L и боковых сторон в точках N и 714. Очевидно, что
ΔO1O3O5 Δ ABC, O1O5 = O3O5 = 2R.
Чтобы найти О1О3, соединим все центры нижних четырех шаров. Мы получим квадрат O1O2O3O4, стороны которого равны 2R, следовательно, диагональ O1O3 = 2R.
   Возвращаясь к треугольнику О1O3O5, замечаем, что O1O5O3= =90° (). Поэтому АСВ = 90°, САВ = СВА =45°.
   Теперь легко находится радиус АО основания конуса:
.
Учитывая, что , окончательно получим
.