ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
§ 4. МНОГОЧЛЕНЫ (РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ)
1. Делимость многочленов. При решении задач на делимость многочленов нужно отчетливо представлять себе действие деления с остатком и применять теорему Безу и ее следствие о необходимом и достаточном условии делимости многочлена на двучлен.
П р и м е р 1. Не производя деления, найти остатки от деления многочлена Р(x) = 2x4 −3х² + 2х + 1 на квадратные трехчлены: а) x² − х − 2, б) x² + 1.
Р е ш е н и е. а) Находим корни трехчлена x² − x − 2: x1 = 2; x2 = − 1 и разложим трехчлен на множители:
x² − x − 2 = (x − 2)·(x + 1).
Остаток R есть многочлен первой степени а·х + b. Следовательно, Р(х) = (х − 2)·(х + 1)·Q(x) + a·x + b, где Q(x) − частное. Придавая х значения, равные корням трехчлена, имеем
Р(2) = 2·а + b, Р(− 1) = − а + b,
где
Р(2) = 25, Р(− 1) = − 2.
Решая систему
находим а = 9, b = 7. Итак, R = 9x + 7.
б) В равенстве Р(х) = (x² + 1)·Q(х) + а·х + b положим х = i (i - корень многочлена х² + 1).
Тогда 2·i4 − 3·i² + 2·i + 1 = a·i + b или 6 + 2·i = b + a·i, откуда b = 6, а = 2. Итак, R = 2·x + 6.
П р и м е р 2. Найти значения а, b и с, при которых многочлен Р(х) = 2·x4 − a·x² + b·x + c делится на х + 2 без остатка, а при делении на x² − 1 дает в остатке х.
Р е ш е н и е. Из первого условия следует, что Р(− 2) = 0, т. е. 32 − 4·а − 2·b + с = 0. Из условия деления на х² − 1 с остатком, равным х, имеем
P(x) = (х² − 1)·Q(x) + x.
Полагая в этом равенстве х = 1 и х = − 1, получаем:
2 − а + b + с = 1,
2 − а − b + с = − 1.
Решая систему
находим 
П р и м е р 3. При каких значениях а и b многочлен х4 − 3·x³ + 3·x² + a·x + b делится без остатка на трехчлен x² − 3·x + 4?
Р е ш е н и е. Легко проверить, что корни трехчлена комплексные. Поэтому применять в данном случае метод, основанный на теореме Безу, нецелесообразно.
I способ. Применяем метод неопределенных коэффициентов:
х4 - 3·x ³ + 3·x ² + a·x + b = (x² − 3·x + 4)·(x² + p·x + q).
Приравнивая коэффициенты при x³, х², х и свободные члены, получаем систему
откуда находим р = 0, q = − 1, а = 3, b = − 4.
II способ. Очевидно, что
х4 − 3·x³ + 3·x² + a·x + b = (x4 − 3·x³ + 4·x²) + (− x² + a·x + b) = x²·(x² − 3·x + 4) + (− x² + a·x + b).
Откуда следует, что для делимости на x² − 3x + 4 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство − x² + a·x + b = − (x² − 3x + 4). Из этого равенства находим: а = 3, b = − 4.
П р и м е р 4. При каких а и α многочлен x³ − 3x + 1 делится на двучлен х − α без остатка и частное от деления больше нуля при всех х?
Р е ш е н и е. Для нахождения частного применяем схему Горнера:
откуда частное Q(х) = х² + α·x + (α² + а) и остаток R = α³ + a·α + 1. По условию α³ + a·α + 1 = 0, следовательно,
Так как по условию квадратный трехчлен Q(x) принимает только положительные значения при всех х, то его дискриминант должен быть меньше нуля (см. гл. III, § 14):
а это возможно только для отрицательных α и таких, что
, т.е. α³ + 4 > 0.
Итак, 
.
II. Разложение на множители. Рассмотрим различные приемы разложения многочленов на множители. В общем случае эти частные приемы не могут установить разложимости или неразложимости данного многочлена.
На практике отдельные приемы используются в различных комбинациях и имеют важное значение.
1. Вынесение общего множителя и способ группировки. При использовании этого способа иногда целесообразно применение "искусственных" преобразований - разбиение отдельных членов на подобные слагаемые или введение взаимно уничтожающихся членов.
П р и м е р 5. Разложить на линейные множители многочлен P(x) = x³ − 3x − 2.
Р е ш е н и е. Имеем
P(x) = (x³ − х) − (2·x + 2) = х·(х + 1)·(х − 1) − 2·(х + 1) = (х + 1)·(x² − x − 2).
Так как x² − x − 2 = (x² − 1) − (x + 1) = (x + 1)·(x − 2), то P(x) = (x + 1)²·(x − 2).
П р и м е р 6. Представить в виде произведения двух множителей многочлен Р(х) = x5 + х + 1.
Р е ш е н и е. Замечая, что Р(х) = (x5− x²) + (x² + x + 1), получаем
x5 + х + 1 = x²·(x³ − 1) + (x² + x + 1) = x²·(x − 1)·(x² + x + 1) + (x² + x + 1) = (x² + x + 1)·(x³ − x² + 1).
2. Применение формул сокращенного умножения.
С помощью формул сокращенного умножения суммы или разности представляются в виде произведения. Иногда полезно выделение квадратов.
П р и м е р 7. Разложить на множители многочлен
Р( х, у, z) = x4 + y4 + z4− 2 x²y² − 2 x²z² − 2 y²z².
Р е ш е н и е. Выделяя полный квадрат, имеем
P = (x² − y² − z²)² − 4·y²·z² = (x² − y² − z² − 2·y·z)·(x² − y² − z² + 2·y·z) = [x² − (y + z)²]·[x² − (y − z)²] = (x + y + z)·(x - y - z)·(x + y - z)·(x - y + z).
П р и м е р 8. Разложить на множители многочлен
Р(х, у, z) = (x - y)³ + (y - z)³ + (z - x)³
Р е ш е н и е. Представим z - x в виде
z - x = (z - y) − (x - y)
и применим формулу
(a - b)³ = a³ − 3·a²·b + 3·a·b² − b³ = (a³ − b³) − 3·a·b·(a - b).
Тогда получим
P = (x - y)³ + (y - z)³ + [(z - y)³ − (x - y)³] − 3·(z - y)·(x - y)·[(z - y) − (x - y)].
откуда Р = 3·(х - у)·(у - z)·(z - х).
Разложение квадратного трехчлена на множители. При использовании формулы
а·х² + b·x + с = а· (х - х1)·(х - х2) (a ≠ 0),
где x1 и x2 - корни трехчлена а·х² + b·x + с иногда целесообразно введение вспомогательных неизвестных.
П р и м е р 9. Разложить многочлен
P(x) = (x² + x + 1)·(x² + x + 2) − 12
на множители с действительными коэффициентами.
Р е ш е н и е. Имеем
P(x) = (x² + x + 1)·[(x² + x + 1) + 1] − 12 =
(x² + x + 1)² + (x² + x + 1) − 12
Полагая x² + x + 1 = у, имеем:
y² + y − 12 = (y + 4)·(y − 3).
так как корни трехчлена y² + y - 12 равны - 4 и 3. Переходя от y к х, получаем:
P(x) = (x² + x + 5)·(x² + x − 2) = (x − 1)·(x + 2)·(x² + x + 5).
П р и м е р 10. Разложить на линейные множители многочлен
P(x) = 2·(x² + 6x + 1)² + 5·(x² + 6x + 1)·(x² + 1) + 2·(x² + 1)².
Р е ш е н и е. Полагая x² + 6x + 1 = у, имеем многочлен
P(x) = 2·y² + 5·y·(x² + 1) + 2·(x² + 1)².
Рассматривая этот многочлен как квадратный трехчлен относительно у (считаем при этом члены с х коэффициентами), находим его корни:
откуда y1 = -2·(x² + 1) и 
.
Тогда
P(x, y) = 2·(y - y1)·(y - y2)
и после перехода к х имеем
P(x) = (3·x² + 6·x + 3)·(3·x² + 12·x + 3) = 9·(x + 1)²·(x² + 4·x + 1).
Найдем корни трехчлена x² + 4·x + 1 (они равны 
н окончательно получим:
.
Применение теоремы Безу и метода неопределенных коэффициентов.
П р и м е р 11. Разложить на множители многочлен
P(x, y, z) = x·(y² − z²) + y·(z² − x²) + z·(x² − y²).
Р е ш е н и е. Заметим, что при х = у многочлен равен нулю. Тогда по теореме Безу многочлен Р(х, у, z) делится на х - у.
Так как многочлен Р(х, у, z) не меняется при любой круговой перестановке х, у и z, то он равен нулю и при y = z, и при z = x и, следовательно, делится на у - z и z - х. Поэтому
Р(х, у, z)=k·(х - у)·(у - z)·(z - х),
где k - некоторое число. Для нахождения k придадим х, у и z некоторые значения, например, x = 1, у = 2, z = 3. Тогда 2 = 2·k, откуда k = 1 и
Р(х, y, z) = (х - у)·(у - z)·(z - х).