Общие понятия
Линейное неравенство
Пример 1
Квадратическое неравенство
Геометрическая интерпретация
Пример 2
Общий случай
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Оглавление
Предметный указатель
Литература

РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

   Любое неравенство после перенесения всех членов в одну часть можно записать в виде
A V 0,
где V может обозначать любой из символов >, <, ≤:, ≥, а A – выражение, содержащее известные и неизвестные (т. е. подлежащие определению) величины.
   Решить неравенство – это значит указать все действительные значения неизвестных, для которых это неравенство истинно. Понятие равносильности уравнений сохраняется и для неравенств, а именно: два неравенства называются равносильными, если все решения первого являются решениями второго и, наоборот, все решения второго являются решениями первого.
   При решении неравенств над ними совершают такие действия, которые сохраняют его равносильность и сводят к одному или совокупности нескольких более простых неравенств, правила решения которых известны.
   Рассмотрим правила решения некоторых неравенств.
  1. Линейное неравенство
    ax + b V 0 (а ≠ 0).                      (41)
          Для определенности разберем решение неравенства ах + b > 0. Это неравенство согласно свойствам неравенств равносильно неравенству ах > - b. Отсюда получаем х > - b/a, если а > 0, и x < - b/a, если а < 0.
       Для остальных значений символа V неравенство (41) решается аналогично.
       Пример 1. Решить неравенство .
       Решение. Это неравенство равносильно неравенству
       или   
    Очевидно, в случае ab = 0 неравенство не имеет смысла. Исключая эти значения а и b, получаем:
    • в случае а - b > 0, т. е. а > b, неравенство равносильно неравенству . Отсюда x ≥ a/b, если а > 0, и х ≤ a/b, если а < 0;
    • в случае а - b < 0, т. е. а < b, неравенство равносильно неравенству . Отсюда х ≤ a/b, если а > 0, и х ≥ a/b, если а < 0;
    • в случае а = b получаем 0·х ≥ 0, что справедливо для любого x.
    Таким образом, решением неравенства будут:
    • 1)    х ≥a/b , если а > b, а > 0 или а < b и а > 0;
    • 2)    х ≤ у, если b < a < 0 или b > а > 0;
    • 3)    х – любое, если а = b.
  2. Исследование знака квадратного трехчлена. Неравенство второй степени
    ax² + bx + c \/ 0 (а ≠ 0).                       (42)
    Обозначим через D = b² - 4ас дискриминант квадратного трехчлена
    ax² + bx + c                     (43)
    Тогда, вынося а за скобки и выделяя полный квадрат, представим квадратный трехчлен в виде
                         (44)
          Возможны следующие случаи:
    1. D < 0.
         
      Так как для любого х, а , то выражение в квадратной скобке положительно и, следовательно:
      1. Если а > 0, то ax² + bx + c > 0 для всех х;
      2. если а < 0, то ax² + bx + c < 0 для всех х;
            Таким образом, если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, то его знак для всех х совпадает со знаком коэффициента при х².
         Отсюда следует, что в случае D < 0 неравенства ax² + bx + c > 0 и ax² + bx + c ≥ 0 имеют решением все действительные значения х при а > 0 и не имеют решений при а < 0.
         Аналогично, неравенства ax² + bx + c < 0 и ax² + bx + c ≤ 0 не имеют решений в случае а > 0 и имеют решением все х, если a < 0.
    2. D = 0. В этом случае согласно равенству (44) квадратный трехчлен представим в виде
      .
      Следовательно, если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то его знак для всех совпадает со знаком коэффициента при х²; при он принимает значение, равное нулю. Поэтому в случае D = 0:
      1. Неравенство ax² + bx + c > 0 имеет решением все , если а > 0, и не имеет решений, если а < 0.
      2. Неравенство ax² + bx + c < 0 имеет решением все , если а < 0, и не имеет решений, если а > 0.
      3. Неравенство ax² + bx + c ≥ 0 имеет решением все х, если а > 0, и единственное решение , если а < 0.
      4. Неравенствоax² + bx + c ≤ 0 имеет решением все действительные значения х, если а < 0, и только , если а > 0.
    3. D > 0. В этом случае квадратный трехчлен представим в виде
      ax² + bx + c = а( х - х1)( х - х2),                      (45)
      где x1, x2 - действительные и различные корни квадратного трехчлена (43).
    Будем считать x1 < х2. Очевидно, что ( х - x1) ( x - х2) > 0 для х < x1 и х > х2 (оба сомножителя одного знака) и (х - x1)(x - х2) < 0 для x1 < х < x2 (первый сомножитель положителен, а второй отрицателен).
       При х = х1 или x = x2 очевидно, (x - х1)(х - х2) = 0. Поэтому согласно формуле (45) в случае а > 0 квадратный трехчлен положителен для всех х, лежащих вне промежутка (х1, х2), и отрицателен для всех значений х, заключенных в промежутке (x1, х2). В случае а < 0 - наоборот.
       Из этого исследования следует способ решения неравенства ax² + bx + c \/ 0, когда D > 0.
       Геометрическая интерпретация. Графиком квадратного трехчлена у = ax² + bx + c служит парабола (см. гл. VII, § 9-III). Расположение этой параболы относительно оси х для различных случаев представлено на рис. 10.
       Пример 2. Решить неравенство (а - 2)х² - х - 1 > 0.
       Решение.При а = 2 имеем х - 1 > 0, т. е. x ≤ - 1. При а ≠ 2 находим D = 1 + 4 (а - 2) = 4 а - 7.
       Если D = 4 a - 7 < 0, т. е. а < 7/4, то коэффициент а - 2 < 0 и, следовательно, неравенство решений не имеет (для всех х левая часть отрицательна).
       Если а = 7/4, т. е. D = 0, то неравенство принимает вид - ¼x² - x - 1 ≥ 0, или -(x - 2)² ≥ 0. Следовательно, его решением будет x = 2.
       Если a > 7/4 и а ≠ 2, то находим, что и корни трехчлена. Неравенство представляем в виде ( a - 2) ( x - x1) ( x - x2) ≥ 0.
       В случае 7/4 < а < 2 коэффициент а - 2 < 0 и неравенство равносильно неравенству ( x - x1) ( x - x2) ≤ 0 и так как, очевидно, в этом случае х1 < х2, то, следовательно, решением неравенства будет x1 ≤ х ≤ х2.
       Для а > 2 неравенство равносильно неравенству ( x - x1) ( x - x2) ≥ 0, причем x1 > х2, и поэтому решением будет х ≤ x и х ?№8805ж х1.
       Таким образом, решениями неравенства служат:
    • 1)  x = 2, если а = 7/4;
    • 2)   ≤ x ≤ , если 7/4 < a < 2;
    • 3)  x ≤ - 1, если a = 2;
    • 4)  x ≤ и x ≥ если a > 2.
    В случае a < 7/4 - неравенство решений не имеет.
  3. Общий случай. Всякое рациональное неравенство (т. е. неравенство, обе части которого рациональны относительно неизвестного) после перенесения всех членов в одну часть приводится к виду
    P(x)/Q(x) \/ 0,                      (46)
    где Р(х) и Q{x) - многочлены относительно х.
       Всякий многочлен, рассматриваемый на множестве действительных чисел, разлагается в произведение множителей вида (х - а), (x - b)k, (x2 + px + q) и (x2 + p1x + q1)s, где x2 + px + q и x2 + p1x + q1 не имеют действительных корней, т. е. их дискриминанты отрицательны. Поэтому для всех х они принимают лишь положительные значения (коэффициент при х2 равен 1). Следовательно, эти квадратные трехчлены можно в неравенстве (46) отбросить, в результате чего получится неравенство, равносильное исходному.
       Двучлены вида (x - b)к при четном k = 2m для всех х ≠ b принимают лишь положительные значения. Поэтому, если такой двучлен отбросить, то получим неравенство, равносильное исходному для всех х ≠ b. Что касается нечетного k, т. е. двучленов вида ( х - b)2m+1, то как следует из равенства (х - b)2m+1 = (х - b)2m(х - b), они принимают для всех х значения, совпадающие по знаку с х - b. Следовательно, такой двучлен можно в неравенстве заменить его первой степенью.
       Далее, если числитель и знаменатель неравенства (46) содержат одинаковые линейные множители х - а, то сокращая на этот множитель, мы получим неравенство, равносильное исходному при всех хфа, причем заметим, что значение х = а не может входить в решение исходного неравенства (числитель и знаменатель обращаются в нуль!).
       Таким образом, неравенство (46) после разложения числителя и знаменателя на простейшие множители с действительными коэффициентами сводится к неравенству
    \/ 0,                     (47)
    равносильному данному для всех х, за исключением, быть может, отдельных значений x = bl, x = b2, ..., причем числитель и знаменатель этого неравенства не имеют одинаковых множителей. Для решения неравенства вида (47) удобно применять числовую ось.
       Пусть х1 > х2 > х3 > ... > хn - все значения х, при которых сомножители неравенства (47), стоящие в числителе и знаменателе, обращаются в нуль (т. е. это числа a1 а2, ..., аn, перенумерованные в порядке убывания).
       Отметим на числовой оси х точки х1, х2, ..., хn причем будем отмечать точки сплошной чертой, если они принадлежат решению неравенства (47) и пунктирной - если не принадлежат (рис. 11). (В случае большого разброса точек масштаб можно не соблюдать.) Очевидно, если символ \/ обозначает ≥ или ≤, то такими точками, заведомо принадлежащими решению, будут числа a1, а2, ..., ak, обращающие сомножители числителя в нуль. Точки ak+1, ...,an, обращающие знаменатель в нуль, не могут принадлежать решению неравенства (47).
       Эти точки x1, х2, ..., хn разбивают числовую ось на n + 1 промежутков.
       Для всех х из крайнего правого промежутка (x > х1), очевидно, все сомножители в неравенстве (47) положительны и, следовательно, А > 0. Для х из следующего промежутка х2 < х < х1 сомножитель х - х1 будет отрицательный, а все остальные, по-прежнему, остаются положительными, т.е. на этом промежутке А < 0. При переходе на следующий промежуток x3 < х < х2 все сомножители, за исключением х - х2, будут принимать значения, совпадающие по знаку с их значениями на предыдущем промежутке, а сомножитель х - х2 вместо положительных значений будет принимать отрицательные значения и, следовательно, на этом промежутке А > 0. Вообще, двигаясь справа налево вдоль числовой оси, при переходе с одного промежутка на следующий знак А в неравенстве (47) меняется на противоположный, так как один из сомножителей вместо положительного значения принимает отрицательное. Это знакочередование значений А удобно условно изображать волнистой линией, как показано на рис. 11.
       Для крайнего правого промежутка х > х1 эта линия всегда лежит над осью.
       Итак, если линия на промежутке находится над осью, то значения А положительны, если под осью - отрицательны. Отметив знакочередование А на числовой оси, мы, в зависимости от значения символа \/ получим все решения неравенства (47). Присоединяя к этим решениям те значения х, для которых могла нарушиться равносильность при переходе от неравенства (46) к неравенству (47), и которые являются решениями неравенства (46), мы получим все решения этого неравенства.
       Пример 3. Решить неравенство .
       Решение. Замечая, что
    1 - 2х = - 2 (х- ½), x² + x = x(x + 1), 4 - х = - (х - 4), x² - x - 2 = (x - 2) (x + 1),
    3 + 5x = 5 (x + 3/5), x - x² - 1 = - (x² - x + 1),
    перепишем неравенство в виде
    Имеем: (x + 1)² > 0 для всех х ≠ - 1, причем x = - 1 удовлетворяет неравенству; х² - х + 1 > 0 для всех х, так как дискриминант D = 1 - 4 < 0. Поэтому исходное неравенство равносильно неравенству
    при х ≠ - 1 (при сокращении обеих частей на - 2/5 знак неравенства изменили на противоположный).
       Отмечая на числовой оси точки х = 0, х = ½, х = 2 (сплошной линией) и х = - 3/5, х = 4 (пунктирной) и рисуя справа налево, начиная над осью, волнистую линию, получим знакочередование левой части последнего неравенства (рис. 12). "Снимая" с этого рисунка решение последнего неравенства и присоединяя к нему х = - 1, получаем решение исходного неравенства
    x = - 1, - 3/5 < x ≤ 0, ½ ≤ x ≤ 2, x > 4.
       Пример 4. Решить неравенство
       Решение. Данное неравенство равносильно неравенству
    или
    или
    где
    Используя числовую ось (рис. 13), получаем решение
    ( - ∞, - 2), ( - 1, - 1/6), (0, ), ( , + ∞).
  4. Системы неравенств с одним неизвестным. Решить систему неравенств с одним неизвестным
    это значит указать все значения неизвестных, для которых все неравенства, входящие в систему, одновременно справедливы. Если таких значений нет, т. е. система не имеет решений, то говорят, что она противоречивая, или несовместная.
       Решая каждое неравенство на своей числовой оси (во избежание путаницы) и отмечая на ней, например, штриховкой, удовлетворяющие этому неравенству промежутки, мы получим совокупность числовых осей. Если их расположить параллельно одна под другой так, чтобы начала отсчета каждой оси лежали на одной вертикальной линии, то легко получить промежутки, являющиеся решением системы.
       Пример 5. Решить систему неравенств
    Решение. Неравенство (1) равносильно неравенству , или . Отмечаем на числовой оси штриховкой промежутки, удовлетворяющие этому неравенству (рис. 14, а). Неравенство (2) равносильно неравенству
      или  
    Его решение отмечено штриховкой на рис. 14, б.
       Неравенство (3) записываем в виде (х - х1)(х - x2) < 0, где
    и отмечаем также штриховкой его решение (рис. 14, в). Теперь из рис. 14 получаем решение системы
    2 ≤ x <
    ( тот промежуток, где штриховка на всех осях совпадает !).
       Примечание. Решение иррациональных, показательных, логаоифмических неравенств см. в соответствующих местах. О решении неравенств и систем неравенств с несколькими неизвестными см. также гл. XIV, § 8.