§ 7. НЕРАВЕНСТВА И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Если в неравенстве фигурирует знак > или <, то говорят, что неравенство является строгим. Неравенство, содержащее знак ≤ или ≤, называется нестрогим.
В неравенствах вида (20) выражения А и В рассматриваются на том множестве, где А и В одновременно имеют смысл. Это множество называется множеством допустимых значений неравенства. При совместном рассмотрении двух или нескольких неравенств допустимыми считаются значения величин из общей части множества допустимых значений рассматриваемых неравенств.
При конкретных (частных) значениях величин из множества допустимых значений неравенства (20) обращаются в числовые неравенства, которые могут быть справедливыми (верными) или несправедливыми (противоречивыми).
Справедливость или несправедливость числового неравенства устанавливается на основе понятий равенства и сравнения для любых двух действительных чисел а и b.
Неравенство, справедливое для всех допустимых значений входящих в него величин, а также справедливое числовое неравенство называется тождественным неравенством. Например, неравенство x² + 1 > x² является тождественным.
Неравенства (20) подразделяются на рациональные и иррациональные и т.д. - точно так же, как и равенства.
Замечание. Понятие неравенства установлено не только для алгебраических, но и для любых математических выражений.
Два или несколько неравенств называются неравенствами одинакового смысла, если они содержат один и тот же знак > или <. Два неравенства называются неравенствами противоположного смысла, если в одном из них стоит знак >, а в другом знак <. Например, неравенства А > В и С > D имеют одинаковый смысл, а неравенства A < B и C > D - противоположный смысл.
Пусть а и b - действительные числа. Между ними имеет место одно и только одно из следующих соотношений: a = b, a > b, а < b. Число а больше числа b (a > b) в том и только в том случае, если разность а - b есть число положительное: а - b > 0. Число а меньше числа b (a < b) в том и только в том случае, если разность а - b есть число отрицательное: a - b < 0.
Отсюда вытекают следующие свойства неравенств.
Свойство 1. Если a > b, то b < а, и наоборот, если b < а, то а > b.
В самом деле, если а > b, то разность а - b > 0. А тогда разность b - а < 0, т.е. b < а. Наоборот, если b < а, то b - а < 0, и значит, а - b > 0, т. е. а > b.
Свойство 2. Если а > b, b > с, то а > с.
В самом деле, рассмотрим разность а - с = (а - b) + (b - с). По условию а - b > 0 и b - с > 0. Следовательно, а - с > 0, т. е. а > с.
Свойство 3. Если а > b, то при любом с
Действительно, разность
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом знак его на противоположный.
В самом деле, пусть а + b > с. Прибавив к каждой части неравенства число ( - b), получим
Свойство 4. Если
В самом деле, если a > b и с > 0, то разность
Свойство 5. Если а > b и с > d, то a + c > b + d; если а > b и с < d, то a - с > b - d, т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать; два неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое неравенство.
В самом деле, разность (а + с) - (b + d) = (a - b) + (c - d) > 0, если а - b > 0 и с - d > 0, и тогда а + с > b + d. Если же с < d, то d > с и d - с > 0. Тогда разность (а - с) - (b - d) = (a - b) + (d - с) > О, т.е. а - с > b - d. Свойство доказано.
Свойство 6. Если а, b, с, d положительны и а > b, c > d, то а·с > b·d, т. е. при почленном умножении двух неравенств, имеющих положительные члены и одинаковый смысл, получается неравенство того же смысла.
Имеем
Свойство 7. Если a > b > 0, то при любом натуральном n аn > bn.
Доказательство. При n = 1 утверждение справедливо по условию. Допустим, что утверждение справедливо при n = k, где k - какое-нибудь натуральное число: ak > bk.
Умножим неравенство ak > bk почленно на неравенство a > b и получим ak+1 > bk+1, т. е. утверждение справедливо и при n = k + 1.
Тогда согласно методу математической индукции утверждение справедливо и для любого натурального n. Свойство доказано.
Замечание. Можно доказать свойство 7, не применяя метод математической индукции. Используем тождество (см. гл. II, § 3):
Свойство 8. Если а > b > 0, то при любом натуральном n ≥ 2
. Тогда в силу свойства 7 имеем
. Следовательно, .Свойства 1-8 справедливы и для нестрогих неравенств. Это следует из справедливости свойств 1-8 для строгих неравенств и известных свойств равенств.
Например, если а ≥ b, то b ≤ а, и наоборот, если b ≤ а, то а ≥ b. В самом деле, утверждение справедливо для строгих неравенств. Кроме того, известно, что аналогичное утверждение справедливо и для равенств, т. е. если а = b, то b = а, и наоборот, если b = а, то a = b.
Свойства 1 - 8, установленные для числовых неравенств, сохраняются и для любых неравенств вида (20).
Определение. Два неравенства называются равносильными, если из справедливости первого вытекает справедливость второго и обратно.
Свойства 3 и 4 выражают равносильность неравенств
А > В и А·С > B·C (С > 0),