ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
I. Линейным уравнением называется уравнение первой степени
a·x + b = 0, (a ≠ 0) (9)
Это уравнение равносильно уравнению а·х = - b, из которого следует, что
.
Таким образом, линейное уравнение всегда имеет единственный корень.
Пример 1. Решить уравнение
а ²·х = а·(х + 2) - 2. (*)
Решение. Перенося неизвестные в одну часть равенства, а известные в другую, получаем равносильное уравнение а·(а - 1)·х = 2·(а - 1). Если а·(а - 1) ≠ 0, т.е. а ≠ 0, а ≠ 1, то имеем линейное
уравнение, которое имеет единственный корень 
.
Если а = 0, то уравнение противоречиво (0·х = - 2), если а = 1, то равенство (*) есть тождество, т. е. ему удовлетворяют любые значения х.
II. Уравнение
a·x ² + b·x + c = 0 (а ≠ 0) (10)
называется квадратным. Его левая часть есть многочлен второй степени (квадратный трехчлен).
Для решения квадратного уравнения выделим в его левой части полный квадрат.
Имеем
Так как а ≠ 0, то уравнение (10) равносильно уравнению
или
Последнее равносильно совокупности двух линейных уравнений
(знаки ± перед радикалом обозначают в общем случае два различных значения радикала, рассматриваемого на множестве комплексных чисел).
Решая каждое из уравнений (11), находим формулу корней квадратного уравнения
, (12)
которая справедлива для любых коэффициентов a, b и с при условии, что а ≠ 0.
Если b ² - 4ас ≠ 0, то из формулы (12) следует, что уравнение (11) имеет два различных корня; если же b ² - 4ас = 0, то имеем два равных корня 
.
Пример 2. Решить уравнение x ² + i·x + i - 1 = 0.
Решение. Согласно формуле (12) имеем
,
откуда находим
или 
.
Если коэффициент при х в уравнении (10) четный, т. е.
а·х ² + 2·b1·х + с = 0, (10')
то формула (12) упрощается. В этом случае
, или 
Замечание. Если квадратное уравнение (10) неполное, т.е. либо b = 0, либо с = 0, то его можно решить, не прибегая к формуле (12).
1. Уравнение ах2 + b·х = 0, или х·(а·х + b) = 0 равносильно совокупности двух уравнений х = 0 и а·х + b = 0, из которых следует, что x1 = 0, x2 = - b/a.
Уравнение ах2 + с = 0, или х2 = - c/a имеет корни
.
Из формулы (12) вытекает следующая зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения (формулы Виета для квадратного уравнения):
(13)
Действительно, из формулы (12) имеем
и 
Сложив и перемножив эти равенства, получим требуемое.
Формулы Виета легко позволяют получить разложение квадратного трехчлена на линейные множители:
Таким образом, справедливо тождество
а·х2 + b·х + с = а·(х - х1)·(х - х2) (14)
(ср. с формулой (3) § 4).
Если х1 = х2, то из соотношения (14) следует, что а·х2 + b·х + с = а·(х - х1) ², т. е. квадратный трехчлен является полным квадратом.