Корень уравнения
Основная теорема алгебры
Теорема о числе корней многочлена
Кратный корень
Формулы Виета
Свойства многочленов
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

   Всякое целое рациональное уравнение после перенесения всех членов в одну часть и приведения подобных может быть представлено в следующем каноническом виде:
а0·хn + а1·хn-1 + ... + аn-1·х + аn = 0 (а0 ≠ 0, n - натуральное).                     (1)
Левая часть такого уравнения является многочленом степени n относительно х и сокращенно обозначается Рn(х), т. е.
Pn(x) = а0·хn + а1·хn-1 + ... + аn-1·х + аn.                     (2)
   Корнем многочлена Рn (х) называют всякое число х0, удовлетворяющее уравнению (1), т. е. число, для которого многочлен (2) принимает значение равное нулю: Рn (х0) ≡ 0.
   Отметим следующие свойства многочленов.
  1. Основная теорема алгебры (теорема Гаусса. К. Ф. Гаусс (1777-1855) - немецкий математик). Всякий многочлен (2), рассматриваемый на множестве комплексных чисел, имеет, по крайней мере, один корень.
    Эта теорема доказывается в курсе высшей алгебры.
  2. Теорема о числе корней многочлена и разложении его на линейные множители. Всякий многочлен, рассматриваемый на множестве комплексных чисел, имеет ровно столько корней, какова его степень и всегда разлагается на линейные множители по формуле
    а0·хn + а1·хn-1 + ... + аn-1·х + аn = а0·(x - x1)·(x - x2)·…·(x - xn),                     (3)
    где х1, х2, ..., хn - все корни многочлена, среди которых могут быть равные.
       Доказательство. Согласно основной теореме существует число х1 такое, что Рn(х1) ≡ 0. Но тогда по теореме Безу (см. гл. II, § 3) многочлен Рn(х) делится без остатка на двучлен х - х1, т. е. имеет место тождество Рn(х) ≡ (х - х1)·Рn-1(х). (Здесь через Рn-1(х) обозначен многочлен степени n-1 - частное от деления Рn{х) на х - х1.)
       Рассуждая аналогично, для многочлена Рn-1(х) получимРn-1(х) ≡ (x - х2)·Рn-2(х). Продолжая этот процесс далее, в конце концов получим Р1(х) ≡ (х - хn)·Р0(х), где Р0(х)-многочлен нулевой степени относительно х, т. е. некоторое число А.
       Таким образом, существуют числа х1, х2, ..., хn (не обязательно все разные), для которых имеют место тождества
    Рn(х) ≡ (х - х1)·Рn-1(х), Рn-1(х) ≡ (х - х2)·Рn-2(х), … , Р1(х) ≡ (х - хn)·A.
    Подставляя последовательно каждое следующее тождество в предыдущее, получаем
    Pn(x) ≡ (x - x1)·(x - x2)·…·(x - xn)·A                     (4)
    Так как равенства (2) и (4) -различные представления одного и того же многочлена, то коэффициенты при хn должны быть одинаковыми, т. е. А = а0. Таким образом,
    Pn(x) ≡ а0·(x - x1)·(x - x2)·…·(x - xn)
       Из формулы (3) следует, что Рn (х1) ≡ 0, Рn (х2) ≡ 0,..., Рn (хn) ≡ 0, т. е. числа х1, х2, ..., хn являются корнями многочлена (2). Очевидно, что эта совокупность содержит все корни многочлена, так как Рn (х) ≠ 0 для любого числа х не равного числам x1, x2, ..., хn (ни один из множителей в равенстве (3) не будет равен нулю)! Таким образом, теорема доказана.
       Из формулы (3) вытекает следующее: если все числа x1, x2, ..., хn различны, то многочлен Рn (х) имеет ровно n различных корней, если же некоторые из этих чисел совпадают между собой, то число различных корней Рn (х) будет меньше n. В этом случае среди множителей формулы (3) имеются равные.
       Определение. Число х0 называется корнем кратности k многочлена (2), если в формулу (3) множитель х - х0 входит ровно k раз, т. е.
    Pn(x) = (x - x0)k·Pn-k(x),                     (5)
    причем Pn-k(x0) ≠ 0. Если k = 1, то х0 называют простым, или однократным корнем.
  3. Формулы Виета (связь между корнями многочлена и его коэффициентами, Ф. Виет (1540-1603) -французский математик).
       Если в формуле (3) произвести умножение двучленов, то получим
    а0·хn + а1·хn-1 + ... + аn = a0·(xn + sl·xn-1 + s2·xn-2 + ... + sn),                     (6)
    где
    s1 = (- x1) + (- x2)+...+(- xn) = - (x1 + x2 + ...+ xn),
    s2 = (- x1)·(- x2) + … +(- xn-1)·(- xn) = x1·x2 + … + xn-1·xn.
    …………
    sn = (- x1)·(- x2)·...·(- xn) = (- 1)n·x1·x2·…·xn.
    Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в равенстве (6), найдем
                         (7)
    Это так называемые формулы Виета. В левых частях соотношений (7) стоят суммы всевозможных сочетаний из всех корней многочлена по одному, по два, по три и т. д. Они являются симметрическими выражениями относительно его корней x1, x2, ..., хn. В правых частях соотношений (7) стоят коэффициенты многочлена а1, а2, ..., an-k,... при степенях хn-1, хn-2,...,xk, ..., деленные на коэффициент а0 при старшей степени х и взятые со знаком (-1)1, (-1)2, ..., (-1)n~k,... соответственно.
       Формулы (7) позволяют по известным корням уравнения составить это уравнение в виде
                         (8)
    Это так называемый приведенный вид уравнения n-й степени, когда коэффициент при старшей степени неизвестного равен единице.
  4. Свойства многочленов с действительными коэффициентами.
       Теорема 1. Если комплексное число х = а + b·i является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то и сопряженное число a - b·i также является корнем этого многочлена.
       Доказательство. Так как х = а + b·i корень многочлена Рn (х) = а0·хn + а1·хn-1 + … + аn, то
    Рn(x) = а0·(а + b·i) + а1·(а + b·i)n-1 + … + an = 0.                     (*)
       В этом выражении над комплексными числами производятся лишь рациональные операции.
       Заменим в левой части равенства (*) все числа на сопряженные. При этом (ak - действительны!), . Тогда согласно свойству комплексных чисел (см. гл. I, § б) и результат заменится на сопряженный, т. е. 0 на 0. Поэтому имеем
    а0·(а - b·i) + а1·(а - b·i)n-1 + … + an = 0.
    т. е. а - b·i является корнем многочлена Рn(х).
       Теорема 2. Многочлен с действительными коэффициентами всегда разлагается в произведение линейных и квадратичных множителей, коэффициенты которых также действительны.
       Доказательство. В самом деле, если многочлен имеет лишь действительные корни, то утверждение следует из формулы (3).
       Если же он имеет комплексный корень x1 = a + b·i, то по теореме 1 он имеет и сопряженный комплексный корень = a - b·i и, следовательно, (по теореме Безу)делится на: x - x1 и х - , т. е. на их произведение (x - x1)·(х - ) = х ² - (x + )·х + х1· = x ² + p·x + q, где р = - (x1 + ) = - (а + b·i + а - b·i) = -2·а и q = х1· = (а + b·i)·(а - b·i) = а ² + b ² - действительные числа. Таким образом, в этом случае многочлен Рn(х) представим в виде Рn(х) = (x ² + p·x + q)·Рn-2(х).
       Рассуждая так же относительно многочлена Рn-2(х) и т. д., в конечном итоге получим требуемое утверждение.
       Из теоремы 2, в частности, вытекает, что всякий многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. (Если бы было не так, то такой многочлен разлагался бы лишь на множители вида x ² + p·x + q, которые в произведении могут лишь дать многочлен четной степени.)