5_3

ВВЕРХ

Определение геометрической прогрессии

Свойства членов геометрической прогрессии

Сумма n членов геометрической прогрессии

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

   Определение. Последовательность чисел с общим членом a_n = a q^n-1, где а ≠ 0 и q ≠ 0 - любые заданные числа, называется геометрической прогрессией.
   Число а называется первым членом геометрической прогрессии, q - знаменателем геометрической прогрессии. Для обозначения геометрической прогрессии употребляют знак ÷÷, т. е. пишут ÷÷a₁, a₂, a₃, … , a_n, … Из условия а ≠ О, q ≠ О следует, что среди членов геометрической прогрессии не могут быть нули. При а > 0 и q > 1 геометрическая прогрессия возрастающая, так как а_{k + 1} = а q^k > а q^{k - 1} = a_k, т. е. а_{k + 1} > a_k, при 0 < q < 1 - убывающая (а_{k + 1} < a_k).
   Если q < 0, то члены прогрессии - знакочередующиеся и она не будет монотонной.
   Из определения геометрической прогрессии вытекают следующие свойства ее членов.

Каоюдый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на знаменатель прогрессии, т. е. а_{k + 1} = а_k·q, a₁ = a, k = 1, 2, … (10) В самом деле, а_{k + 1} = a₁·q^k = a₁·q^{k - 1}·q.
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии равен произведению двух равноудаленных от него членов этой прогрессии, т. е. a_k² = a_{k - m}· a_{k + m}, (11) где k и m - любые натуральные числа и k > m.
Действительно, a_{k + m} = a₁·q^{k + m + 1}, a_{k - m} = a₁·q^{k - m + 1} Поэтому a_{k + m}·a_{k - m} = a₁²·q^{2 (k - 1)} = a_k². Если все члены геометрической прогрессии положительные числа, то свойство 2 можно записать формулой , (12) т. е. каждый член такой геометрической прогрессии есть среднее геометрическое членов, равноудаленных от него.
Для любой геометрической прогрессии a_l, а₂, ..., а_n, ... a_k·a_l = a_r·a_s, (13) где k, l, r, s -номера членов и k + l = r + s. В самом деле, по определению геометрической прогрессии a_k·a_l = a₁·q^{k - l}·a₁·q^{l - 1} = a²_l·q^{k + l - 2},

a_r·a_s = a₁·q^{r - l}·a₁·q^{s - 1} = a²_l·q^{r + s - 2} и так как по условию k + l = r + s, то a_k·a_l = a_r·a_s

         В частности, если геометрическая прогрессия состоит из n членов, то a_k·a_{n - k + l} = a₁·a_n (k = 1, 2, ..., n),                     (13') т. е. произведение двух членов конечной геометрической прогрессии, равноотстоящих от ее концов, есть величина постоянная для данной прогрессии, равная произведению ее крайних членов.
   Замечание. Так же, как и в случае арифметической прогрессии, каждое из свойств 1 и 2 является условием необходимым и достаточным для того, чтобы соответствующая последовательность a_l, а₂, ..., а_n, ... была геометрической прогрессией.
   Предоставляем читателю доказать, что последовательность a_l, а₂, ..., а_n, ..., заданная рекуррентным соотношением a_{k + 1} =a_k·q (q ≠ 0), а₁ = а ≠ 0, есть геометрическая прогрессия (см. замечание к § 2).    Покажем, что последовательность a_l, а₂, ..., а_n, ..., заданная рекуррентным соотношением а²_k = а_{k - 1}·а_{k + 1}, а₁ ≠ 0 и а₂ ≠ 0 - заданные числа, k = 2, 3, ..., есть геометрическая прогрессия. С этой целью запишем каждое из равенств а²_k = а_{k -l}·а_{k +l}, k = 2, 3, ..., n в виде пропорции

Получаем:

или

где q - величина каждого из равных отношений. Приравнивая q каждое из этих отношений, получаем: a₂ = a₁ q, a₃ = a₂ q,..., a_{n + 1} = a_n q. Перемножая правые и левые части этих равенств, после сокращений получаем a_{n + 1} = a q ⁿ. Следовательно, данная последовательность есть геометрическая прогрессия.
Последовательность a_l, а₂, ..., а_n, ..., удовлетворяющая свойству 3, может не быть геометрической прогрессией. Например, числа 1, 2, 3, 6 не образуют геометрической прогрессии, хотя 1·6 = 2·3.
Сумма n членов геометрической прогрессии. Обозначим через S_n сумму n членов геометрической прогрессии: S_n = a_l + а₂ + ...+ а_n (14) Умножая все члены этого равенства на знаменатель прогрессии q и учитывая, что a_k q = a_{k + 1} (k = 1, 2, ..., n - 1), имеем S_n q = a₂ + а₃ + ...+ а_n + а_n q (15) Вычтем из равенства (14) равенство (15). Тогда S_n (1 - q) = a₁ - a_n q т. е.

, (16) если q ≠ 1. Так как a_n = a₁ q^{n - 1}, то из формулы (16) получим формулу

, (17) определяющую сумму S_n членов прогрессии через ее знаменатель и первый член.
Если q = 1, то а₁ = а₂ = ... = а_n и S_n = n a₁