Бесконечная геометрическая прогрессия
Лемма
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 4. БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

   I. Определение. Бесконечная геометрическая прогрессия ÷÷al, а2, ..., аn ..., знаменатель которой | q | < 1, называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
   При a > 0 и 0 < q < 1 члены прогрессии монотонно убывают:
an = а1 qn - 1 < а1 qn - 2 = an - 1.
   При q < 0 прогрессия не монотонна (см. § 3).
   Для дальнейшего изложения нам понадобится следующая лемма.
   Лемма. Если | q | < 1, то .
   Доказательство. Пусть ε > 0 - произвольно заданное положительное число. Рассмотрим неравенство | qn - 0 | < ε. Решая его относительно n, находим
Таким образом, для любого ε > 0 и всех n, больших числа справедливо неравенство | qn - 0 | < ε, что по определению предела последовательности означает
.
   Из леммы и свойств предела вытекает, что
если | q | < 1, т. е. член бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к нулю, когда его номер неограниченно возрастает.
II. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.    Совершенно очевидно, что понимая сумму в обычном смысле, ее нельзя определить для бесконечного числа слагаемых (складывая последовательно слагаемые, мы никогда не закончим процесс суммирования). Поэтому в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии поступают следующим образом.
   Вычисляют по формуле (17) сумму двух, трех и т. д. первых ее членов
Эти суммы тоже образуют бесконечную последовательность, которая имеет предел. Действительно, по свойству предела
                     (18)
При увеличении п в сумму Sn будет входить всё большее и большее количество членов геометрической прогрессии. Поэтому, естественно понимать под выражением
S = a1 + a2 + a3 +, .. + аn + ...
предел последовательности S1, S2, ..., Sn, ..,, который и называют суммой S бесконечно убывающей прогрессии.
Таким образом, учитывая это определение и результат (18), имеем