§ 2. ФУНКЦИЯ
Совместно могут изменяться несколько переменных величин (например, объем, радиус основания и высота конуса). Мы рассмотрим самый простой случай двух совместно изменяющихся переменных величин. Выражение "две совместно изменяющиеся переменные величины" мы употребляем в том смысле, что каждое значение одной из них вполне определяется вначением другой.
Определение. Если в силу некоторого закона каждому значению переменной х, изменяющейся на множестве Е, отвечают определенные значения у, то у называется функцией от х.
Переменную х называют независимой переменной, или аргументом функции, множество Е - областью задания, или областью определения функции.
Множество всех вначений, которые принимает функция, называется областью изменения функции.
Если каждому х из области задания функции соответствует единственное значение у, последняя называется однозначной. В противном случае функция называется многозначной. В математике обычно рассматриваются только однозначные функции (если не сделано дополнительных оговорок).
Для указания того, что у есть функция от х, употребляют запись вида y = f (x), илм y = g (x), или у = у (х) и т. д. Буквы f, g, y и т. д. символизируют вакон, по которому получается значение у, соответствующее данному вначению х. Если нужно указать значение y0, отвечающее выбранному значению х0, то пишут y0 = f (x0), или y0 = g (x0), или у0 = у (х0) и т. д.
Рассмотрим частный случай функции, когда область ее задания состоит из всех натуральных чисел, т. е. х = 1, 2, 3, ..., n, ... . В этом случае вместо y = f (n) пишут уn. Когда n пробегает все свои значения, функция y = f (n) принимает значения у1, у2, ..., ут, ... . Функция натурального аргумента называется последовательностью (см. гл. V, § 1).