7_4

ВВЕРХ

Четная функция

Сумма, разность, произведение и частное четных функций

Нечетная функция

Сумма, разность, произведение и частное нечетных функций

График четной функции

График нечетной функции

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

§ 4. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ

   Функция y = f (x) называется четной, если для любых двух различных значений аргумента из области ее определения, отличающихся только знаком, ее значения совпадают, т. е. f (-x) = f (x). Этим свойством обладают, например, функции у = х², у = | х |, у = 5 и т. д.
   В самом деле, (- х)² = х², | - x | = | x |, у = 5 для всех х.
   Сумма, разность, произведение и частное четных функций есть также четная функция.
   Действительно, если y = f (x) и y = g (x) - четные функции, то, например, для их суммы φ (х) = f (x) + g (x) и произведения ψ (x) = f (x)·g (x) имеем:

1) φ (- х) = f (- x) + g (- x) = f (x) + g (x) = φ (х), т. е. φ(- х) = φ (х);
2) ψ (- х) = f (- x) · g (- x) = f (x) · g (x) = ψ (х), т. е. ψ(- х) = ψ (х);

Функция y = f (x) называется нечетной, если значения функции, вычисленные для двух любых значений аргумента из области задания функции, отличающихся только знаком, также отличаются только знаком, т. е. f (- x) = - f (x).
К нечетным функциям относятся, например, у = х³,

и т. д. В самом деле (- х)³ = - х³,

. Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а произведение и частное нечетных функций – функция четная. Так, например, если f (x) и g (x)-нечетные функции, то для их суммы φ (х) = f (х) + g (х) и произведения ψ (х) = f (х)· g (х) имеем:

1) φ (- х) = f (- x) + g (- x) = - f (x) - g (x) = - [f (x) + g (x)] = - φ (х), т. е. φ(- х) = - φ (х);
2) ψ (- х) = f (- x) · g(- x) =- f (x) · (- g (x))= f (x) · g (x) = ψ (х), т. е. ψ(- х) = ψ (х);

   Предлагаем читателю доказать, что произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная.
   Однако не надо думать, что каждая функция является четной или нечетной. Большинство функций не относятся ни к одному из этих классов. Например, такова функция у = х³ + 1. В самом деле (- х)³ + 1 = - х³ + 1, т. е. (- х)³ + 1 ≠ - (x² + 1) и также (- х)³ + 1 ≠ x² + 1.    Вообще, сумма двух функций различной четности не является четной, а также нечетной функцией (доказать!).
   Заметим, что если функция y = f(x) четная или нечетная, то область ее задания обязательно симметрична относительно центра О: если х принадлежит области задания, то - х также принадлежит этой области. По этой причине радикалы с четными показателями 2n(

) не могут быть четными или нечетными функциями, так как их область задании х > 0 не симметрична относительно центра О (см. § 9).
   Из определения четных и нечетных функций вытекает, что график четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной – относительно центра O.
   В самом деле, пусть точка М(х₀, у₀) лежит на графике четной функции у = f (х), т.е. у₀ = f (х₀).                     (1) Рассмотрим точку N(- x₀, у₀) ( смотри рис. 22), симметричную точке М относительно оси Оу.
   В силу четности данной функции и равенства (1) f (- x₀) = f (x₀) = y₀, а это означает, что точка N (- х₀, у₀) также принадлежит графику функции у = f (х).
   Аналогично доказывается, что график нечетной функции симметричен относительно начала системы координат ( смотри рис. 23).
   Таким образом, график четной (нечетной) функции достаточно построить для х ³ 0, а затем эту кривую симметрично отобразить относительно оси Оу (начала системы координат).
   Свойство четности или нечетности связано с областью задания функции. Так, например, функция у = х², заданная на отрезке [-1, 2], не является четной на нем (хотя бы потому, что этот отрезок не симметричен относительно начала О). Однако эта функция четная на части этого отрезка, например на отрезке [-1, 1].