7_9

ВВЕРХ

Элементарная функция

План исследования функции

Дополнительные действия исследования функции

Линейная функция

Дробно-линейная функция

Квадратный трехчлен

Степенная функция

Радикал

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

§ 9. ОБЗОР СВОЙСТВ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ. ПОСТРОЕНИЕ ИХ ГРАФИКОВ

Функция y = f (x) называется элементарной, если при вычислении ее значений применяются и притом в конечном числе лишь следующие операции: сложение, вычитание, умножение и деление; возведение в произвольную степень и извлечение корня произвольной степени; взятие логарифма числа по произвольному положительному основанию; нахождение синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.
В общем случае исследование функции проводится по следующему плану.

Находят область определения и область изменения функции.
Проверяют, не является ли функция четной, нечетной, периодической.
Находят промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства функции.
Определяют наибольшее и наименьшее значения функции и т. д.

После этого анализа нужно построить график функции. При этом следует дополнительно к уже рассматриваемым свойствам:

1) определить точки пересечения графика с осями координат (для того, чтобы найти точки пересечения о осью Ох, решаем уравнение f (x) = 0; для нахождения точек пересечения с осью Оу полагаем х = 0 и вычисляем значение f ( 0);
2) найти промежутки выпуклости и вогнутости графика;
3) выяснить, имеет ли кривая, определяемая уравнением y = f (x), асимптоты.

В некоторых случаях проще построить график функции, а затем, исследуя его, выяснить свойства функции.

Линейная функция y = k x + b.
- 1) Рассмотрим частный случай, когда k = 0. Тогда y = b. Эта функция определена на всей оси Ох и для каждого х принимает одно и то же постоянное значение b. Следовательно, ее график есть прямая, параллельная оси Ох (смотри рисунок.) и отстоящая от нее на | b | единиц (вверх, если b > 0 и вниз, если b < 0). При b = 0 (графиком функции у = 0 является ось абсцисс.
- При b = 0 y = k x. Такое соотношение между х и у при k ≠ 0 называется прямой пропорциональной зависимостью. Эта функция определена всюду. Она монотонно возрастает при k > 0 и убывает при k < 0.
     Для построения ее графика заметим, что точка (0, 0) удовлетворяет данному уравнению. Для всякой другой его точки М (х, у) будет справедливо равенство . Но = tg α, где α - угол, образуемый прямой ОМ с положительной полуосью абсцисс (он отсчитывается от положительной полуоси против часовой стрелки, смотри рисунок.).
     Обратно, всякая точка, лежащая на прямой, проходящей через начало координат под углом α к положительной полуоси Ох, удовлетворяет уравнению = tg α = k, или y = k x. Следовательно, график прямой пропорциональной зависимости есть прямая, проходящая через начало координат.
     Угол α наклона этой прямой определяется коэффициентом k  (k = tg α), который называется угловым коэффициентом прямой.
- Общий случай: y = k x + b. График этой функции можно получить из графика функции y = k x параллельным сдвигом последнего вдоль оси Оу на отрезок | b | (вверх, если b > 0, и вниз, если b < 0, (см. правило II). При этом преобразовании мы вновь получаем прямую с угловым коэффициентом k, отсекающую на оси Оу отрезок величины | b | (вверх от точки О, если b > 0, и вниз, если b < 0).
   Для построения этой прямой достаточно найти любые две ее точки, например, точки пересечения с координатными осями  смотри рисунок.
   Пример. Построить график функции у = 5 х + 1.
   Решение. График этой функции есть прямая. Найдем точки ее пересечения с осями Ох и Оу. Если y = 0, то х = - 1/5; если х = 0, то у = 1. Следовательно, эта прямая проходит через точки ( - 1/5, 0) и (0, 1) (смотри рисунок.).
   Следствие. Уравнение А х + В у + С = 0 (А и В - одновременно не равны нулю) определяет прямую.
   Действительно, если В ≠ 0, то уравнение можно записать в виде , где . Если же В = 0 (А ≠ 0), то уравнение принимает вид А х + С = 0 или . И в том, и в другом случае мы получаем прямую.
Дробно-линейная функция , где а, b, с, d – постоянные, причем с ≠ 0 (иначе мы имели бы линейную функцию) и a d ≠ b с (иначе произошло бы сокращение и мы получили бы функцию вида у = const).
Сначала рассмотрим более простой случай.
1. Обратная пропорциональная зависимость (k ≠ 0).
  Разберем случай k > 0:
  - 1) функция определена всюду, кроме х = 0, т. е. область ее определения - интервалы (-∞, 0) и (0, ∞);
  - 2) функция нечетная, так как , т. е. начало координат служит центром симметрии и поэтому дальнейшее исследование проводим для х > 0;
  - 3) знак у совпадает со знаком х;
  - 4) функция убывающая, так как для х₁ < х₂ имеем , т. е. f (x₁) > f (x₂);
  - 5) когда х стремится к нулю, оставаясь больше нуля, значения у неограниченно возрастают.
     Какое бы число М > 0 мы ни взяли, можно указать такое значение х', что для 0 < х < х' значения превзойдут М, т. е. > М (смотри рисунок.). Тогда говорят, что стремится к положительной бесконечности при x ® 0, и пишут График неограниченно приближается к оси Оу, нигде ее не пересекая: ось Оу является асимптотой. При возрастании х значения у неограниченно уменьшаются, оставаясь при этом положительными (смотри рисунок.).
     Какое бы малое число ε мы ни взяли, можно найти такое значение х ', что для х > х ' значения < ε. Тогда говорят, что стремится к нулю при х, стремящемся к бесконечности, и записывают .    График неограниченно приближается к оси Ох, нигде ее не пересекая: ось Ох является асимптотой. График вогнутый. Действительно, неравенство в рассматриваемом случае имеет вид , или , откуда 4 x₁ x ₂ < (x₁ + x₂)², или (x₁ - x₂)² > 0, что очевидно.
     Используя все эти свойства, строим график функции при k > 0 (смотри рисунок.). Полученная кривая называется гиперболой, она состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных углах (квадрантах).
     График функции при k < 0 получается из графика симметричным отображением относительно оси Ох, Эта кривая также называется гиперболой: ее ветви расположены во II и IV координатных углах (смотри рисунок.).
2. Общий случай: . Функция определена всюду, кроме . Для построения её графика преобразуем правую часть равенства. Разделив числитель на знаменатель, выделим целую часть: . Полагая , , , убеждаемся, что дробно-линейную функцию всегда можно привести к виду .    Согласно правилу III, график функции можно получить сдвигом гиперболы на | m | единиц вдоль оси Ох и на | n | единиц вдоль оси Оу в том или ином направлении в зависимости от знаков m и n (смотри рисунок.).
     При этом сдвиге асимптоты гиперболы (координатные оси) переидут в прямые x = - n () и y = n (). Эти прямые будут асимптотами дробно-линейной функции.
     Для более точного построения ее графика целесообразно найти точки его пересечения с координатными осями. Итак, график дробно-линейной функции есть гипербола (смещенная).
     Пример. Построить график функции .
     Решение. Выделяя целую часть, имеем . Отсюда следует, что прямые и y = 2 являются асимптотами этой гиперболы.
     Теперь находим точки ее пересечения с осями Ох и Оу. Если x = 0, то у = - 1/3; если у = 0, то x = - 1/4. Следовательно, гипербола пересекает ось Ох в точке (- ¼, 0) и ось Оу в точке (0, - 1/3). Взяв еще несколько "контрольных" точек, строим требуемый график (смотри рисунок.).
Квадратный трехчлен у = а х² + b х + с (а ≠ 0, иначе функция - линейная).
Рассмотрим сначала более простой случай.
1. Квадратичная функция у = а х².
  Разберем случай а > 0:
  - 1) Функция определена для всех х, причем у = а х² ≥ 0. Следовательно, ее наименьшее значение равно нулю и достигается при х = 0;
  - 2) функция четная, так как f (- х) = а (- х)² = а х² = f (х). Поэтому ось Оу служит осью симметрии и дальнейшее исследование проводим для х ≥0;
  - 3) функция возрастающая. Действительно, из неравенства х₁ < х₂ следует, что а х₁² < а х₂² , т. е. f (x₁) < f (x₂). Очевидно, что при возрастании х значения функции у также неограниченно растут (при х ® + ∞ y ® + ∞);
  - 4) график этой функции – вогнутый. Действительно, неравенство в рассматриваемом случае имеет вид: , или что очевидно.
    Используя эти замечания, получим, что график квадратичной функции имеет вид кривой, изображенной на рисунке (смотри рисунок.). Эта кривая носит название параболы. Точка О, называемая вершиной параболы, делит ее на две ветви - правую и левую, направление которых совпадает с положительным направлением оси Оу. При а < 0 из равенства у = а х² = - | а |x² следует, согласно правилу VII, § 8, что графиком у = а х² будет парабола, ветви которой направлены в отрицательную сторону оси Оу (смотри рисунок.).
2. Общий случай: у = а х² + b х + с.
     Для построения графика квадратного трехчлена выделим полный квадрат: . Полагая видим, что квадратный трехчлен всегда можно привести к виду у = а( х + m)² + n. График последней функции получается из графика функции у = а х² согласно правилу III, § 8 путем двух параллельных переносов.
     После этих параллельных переносов направления ветвей не меняются, а вершина переходит в точку А (- m, n). Вертикаль х = n, проходящая через вершину, является осью симметрии полученной кривой.
     Таким образом, график квадратного трехчлена у = а х² + b x + с есть парабола с вершиной в точке . Ее ветви направлены вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0 (смотри рисунок.).
     Для более точного построения графика рекомендуется найти точки ее пересечения с координатными осями.
   Пример. Построить график функций у = х² - 4 x.
   Решение. Это парабола. Записав данное уравнение в виде у = (х - 2)² - 4, мы видим, что ее вершина находится в точке (2, - 4) и ветви направлены вверх.
   Если у = 0, то х₁ = 0 и х₂ = 4. Следовательно,, парабола пересекает ось Ох в точках (0, 0) и (4, 0). Взяв еще несколько "контрольных" точек, строим ее график (смотри рисунок.).
Степенная функция у = хⁿ.
1. Рассмотрим сначала случай, когда n = 2 k. Функция у = х^2k:(смотри рисунок.)
  - 1) определена на всей числовой оси;
  - 2) четная, так как (- х)^2k = х^2k. Поэтому ее достаточно исследовать лишь на полуинтервале [0, ∞);
  - 3) на интервале (0, ∞) она возрастает, так как из неравенства х₁ < х₂ следует, очевидно, неравенство ;
  - 4) когда х неограниченно возрастает, у также неограниченно возрастает. Наименьшее значение функции равно нулю: x^2p ≥ 0; причем у = 0 при х = 0;
  - 5) покажем, что при х > 0 график функции у = хⁿ при любом натуральном n вогнутый, т. е. что справедливо неравенство , (*) где 0 < х₁ < х₂.
    Доказательство проведем методом индукции. При n = 2 очевидно, что . Допустим, что неравенство (*) справедливо для n, и покажем, что тогда , (**) Умножая обе части неравенства(*) на , получим , или , (***) Сравнивая неравенства (**) и (***), видим, что неравенство (**) по свойству транзитивности будет заведомо справедливо, если справедливо неравенство или равносильное ему неравенство . Последнее преобразуется к виду . Отсюда следует его очевидность, так как x₁ - х₂ и имеют одинаковые знаки.
2. Функция у = х^2k+1 (смотри рисунок.):
  - 1) определена всюду;
  - 2) нечетная, так как f (- x) = (- x)^2k+1 = - x^2k+l = - f (x), и поэтому ее достаточно исследовать на промежутке х ≥ 0;
  - 3) она возрастает на всей числовой оси. В самом деле, если 0 < х₁ < х₂, то .
    Если х₁ < х₂ < 0, то вновь < 0;
  - 4) график функции y = x^{2k + 1} вогнутый на интервале (0, ∞).
  Так как эта функция нечетная, то ее график симметричен относительно начала координат и, следовательно, на интервале (- ∞, 0) он выпуклый.
Радикал .
   Радикал определяется, как функция, обратная степенной функции y = xⁿ.
   Рассмотрим случай n = 2k.
   Так как функция y = x^2k монотонно возрастает на промежутке [0, ∞) и принимает все значения от 0 до ∞, то согласно теореме об обратной функции (§ 7) функция :
- 1) определена на промежутке [0, ∞), являющемся областью изменения функции y = x^2k,
- 2) монотонно возрастает от 0 до ∞.

График этой функции изображен на рисунке (смотри рисунок.). Он может быть получен путем зеркального отображения относительно биссектрисы I координатного угла графика у = x^2k, соответствующего участку х ≥ 0.
Если x = 2k+1, то функция у = х^2k+1 монотонно возрастает на всей числовой оси и принимает любые положительные и отрицательные значения. Следовательно, согласно теореме об обратной функции, функция

1) определена на всей числовой оси (область изменения функции y = x^2k+1);
2) монотонно возрастает; область ее изменения - вся числовая ось. Ее график получается путем зеркального отображения параболы y = x^2k+1 относительно биссектрисы I и III координатных углов (смотри рисунок.).

В следующей главе мы рассмотрим показательную и логарифмическую функцию. Главы IX - XIII посвящены тригонометрическим и обратным тригонометрическим функциям.