ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
§ 5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Определение. Функция у = f (x) называется периодической, если существует число Т ¹ 0 такое, что для каждого значения аргумента х из области ее задания имеют место равенства f ( x + T) = f (x) и f (x - T) = f (x).
Число Т, прибавление или вычитание которого из аргумента х не меняет значения функции y = f (x), называется периодом этой функции.
Из этого определения вытекает, что если Т есть период функции, то числа k T (k = 0, ± 1, ± 2, ...) также являются ее периодом. Действительно,
f (x) = f (x + T) = f (x + 2 T) = ...= f (x + k T),
f (x) = f (x - T) = f (x - 2 T) = ...= f (x - k T).
Наименьший положительный период, если он существует, называется основным периодом. Например, основной период функций sin x: и cos x: равен 2 π, основной период функций tg x и ctg х равен π (см. гл. IX, § 3).
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если Т – основной период функции y = f (x), mo число Т/ω – является основным периодом функции y = f (ω x).
(Запись y = f (ω x) означает, что в выражении f (x) все х заменены на ω x. Например, если 
, то 
.)
Доказательство. Положим
f (ω x) = φ (x). (1)
Тогда для любого числа х + l, принадлежащего области определения функции φ ( x), имеем
φ ( x + l) = f [ω (x + l)] = f (ω x + ω l). (2)
Так как Т основной период функции f (x), то наименьшее положительное число, при котором
f (ω x + ω l) = f (ω x)
есть ω l = Т. Тогда согласно формулам (1) и (2) получаем
φ ( x + l) = f (ω x + ω l) = f (ω x) = φ ( x).
Последнее означает, что l = T/ω есть основной период функции
φ ( x) = f (ω x).
Аналогично
φ ( x - l) = f (ω x - ω l) = f (ω x) = φ ( x).
при l = T/ω.
Например, основной период функции sin 2x равен 2π/2 = π, а функции sin (½x) равен 2 π : ½ = 4π.
Если функции f (х) и g (x) – периодические с периодами T1 и Т2 соответственно, то число Т, кратное T и Т2, является периодом их суммы, произведения, разности и частного.
В самом деле, пусть Т = kT1 и Т = mТ2, где k и m – натуральные числа. Число T, по доказанному ранее, есть период каждой из функций f (x) и g {x). Тогда для функции φ (х) = f (x) + g имеем
φ (x + T) = f (x + T) + g (x + T) = f (x + k T1) + g (x + k T2) = f (x) + g (x) = φ (x).
Для частного 
имеем
и т. д.
Используя это свойство, найдем период функции
Период первого слагаемого 
равен 4π/3, период второго слагаемого 
равен 6 π. Число T = 12 π кратно T1 = 4π/3 и T2 = 6 π (12 π = 9 T1 и 12 π = 2 T2). Следовательно, число 12 π есть период функции
Замечание. Не следует считать, что если T1 и Т2 основные периоды функций f (x) и g (x), то число Т, являющееся наименьшим общим кратным T1 и Т2, всегда является основным периодом функций f (x) + g (x) и f (x) · g (x). Например, основной период функций sin x и cos x есть 2 π, а основной период их произведения sin x · cos x = ½·sin 2x равен π.
График периодической функции с основным периодом Т достаточно построить на любом отрезке длины Т, например на [0, Т], а затем сдвигать эту кривую вправо и влево на отрезки Т, 2 T, ... ( смотри рисунок).