Четность и нечетность
Периодичность
Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 3. СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

(Значения тригонометрических функций для углов 30, 45, 60 градусов.)
(Чётность и нечётность тригонометрических функций)
(Периодичность тригонометрических функций)
(Нули и единицы тригонометрических функций)
(Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента)
  1.    Четность и нечетность. Для любых двух аргументов α и - α, отличающихся только знаком, соответствующие им подвижные радиусы ОВ и OВ1 симметричны относительно оси абсцисс. Поэтому хв = хв1, yв = - yв1, и



    Согласно определениям четной и нечетной функций (см. гл. VII, п. 4) отсюда вытекает, что функция cos α -четная, а функции sin α, tg α и ctg α - нечетные.
  2. Периодичность. Значения тригонометрических функций определяются положением подвижного радиуса, которое не меняется, если его повернуть на полный угол по или против часовой стрелки. Это означает, что при прибавлении к аргументу α числа ±2 π
    sin (α ± 2 π) = sin α для любого α,
    cos (α ± 2 π) = cos α для любого α.
    Что касается тангенса и котангенса, то
    tg(α + π) = tg α для α ≠ π/2 + π n,
    ctg (α ± π) = ctg α для α ≠ π n.
       В самом деле, точки В(х, у) и B1(xl, y1) окружности (смотри рисунок.), соответствующие аргументам α и α + π (или α и α - π), симметричны относительно начала координат, т.е. х = - xl, y = - y1. Отсюда следует, что и , т.е. tg (α ± π) = tg α и ctg (α ± π) = ctg α. Таким образом, функции sin α, cos α, tg α и ctg α - периодические.
       Покажем, что основной период функций sin α и cos α равен 2 π, а функций tg α и ctg α равен π.
       Предварительно заметим, что: 1) sin α = 1 в том единственном случае, когда соответствующий подвижный радиус совпадает с верхней половиной вертикального диаметра, т. е. α = π/2 + 2 π k. 2) cos α = 1 в том единственном случае, когда соответствующий подвижный радиус совпадает с правой половиной горизонтального диаметра, т. е. α = 2 π k; 3) tg α = 0 в том единственном случае, когда соответствующий подвижный радиус лежит на горизонтальном диаметре, т. е. α = π k; 4) ctg α = 0 в том единственном случае, когда соответствующий подвижный радиус лежит на вертикальном диаметре, т. е. α = π/2 + π k.
       Из этих замечаний следует, что:
    • 1)   наименьший положительный поворот, через который может повториться единичное значение синуса и косинуса, равен 2 π. Это означает, что период синуса и косинуса не может быть меньше, чем 2 π. Следовательно, период 2 π является основным для этих функций;
    • 2)   наименьший положительный поворот, через который может повториться нулевое значение тангенса и котангенса, равен π. Следовательно, период π является для этих функций основным.
  3. Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.    Пусть аргументу α соответствует подвижный радиус ОВ и х, у - координаты точки В. Имеем:
    • 1)   , так как x2 + y2 = R2 (см. гл. I п.9). Таким образом, для любого α
      sin²α + cos²α = 1;                        (1)
    • 2)    для любого α ≠ π/2 + π k   (k = 0, ±1, ±2,…).
      для любого α ≠ π k.
         Таким образом,
                              (2)
                              (3)
    • к этим трем тождествам присовокупим еще два, определяющие функции sec α и cosec α:
      ,                        (4)
      .                        (5)
         Тождества (1) - (5) называются основными. Из них получаются еще три тождества.
         Из соотношений (2) и (3) следует, что
      tg α ctg α = 1.                           (6)
      Из формул (2), (1) и (4) следует, что
      т. e.
      1 + tg²α = sec²α   (α ≠ π/2 + π k).                        (7)
      Из формул (З), (1) и (5) следует, что
      т. e.
      1 + ctg²α = cosec²α   (α ≠ π k).                        (8)
      Здесь и в дальнейшем k = 0, ±1, ±2, …