Определение ограниченной функции
Определение монотонности функции
Определение выпуклости графика функции
Определение асимптоты функции
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 6. ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ

   Определение 1. Функция y = f (x) называется ограниченной в области своего задания Е, если существует такое положительное число М, что для всех х из области Е значения f (x) по абсолютной величине не превосходят этого числа М, т. е. | f (х)| ≤ М.
   В противном случае функция называется неограниченной. Если функция неограничена, то какое бы число М > 0 мы ни взяли, всегда найдется в области Е такое х0, что | f (х0)| > М. Например, функция - ограниченная, так как для всех действительных значений х (смотри рисунок). К ограниченным функциям относятся также тригонометрические функции sin x и cos x, (а - постоянная) и др. На рисунке приведен график неограниченной функции. График ограниченной функции целиком лежит внутри полосы у = М, у = - М, так как неравенство | f (х) | ≤ М равносильно неравенству - М ≤ f (х) ≤ М(см. гл. I, § 4).
   Определение 2. Функция y = f (x) называется возрастающей на некотором промежутке, конечном или бесконечном (см. § 1), если для любых двух значений х из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. из условия х1 < х2 следует, что f (x1) < f (х2) для любых х1 и х2 из данного промежутка.
   Функция называется убывающей на некотором промежутке, если из условия х1 < х2 следует, что f (x1) > f (х2) для любых х1 и х2 из этого промежутка.
   Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями.
   Замечание. При построении графика функции полезно использовать такие характеристики поведения кривой, как выпуклость и вогнутость и наличие асимптот.
   Определение 3. Если для любых точек x1 и х2 из некоторого промежутка справедливо неравенство
                        (1)
то кривая, определяемая уравнением y = f (x), называется выпуклой на этом промежутке.
   Неравенство (1) означает, что середина любой хорды кривой y = f (x) лежит ниже точки кривой с той же абсциссой ( Смотри комментарий). Если же для любых х1 и х2 из некоторого промежутка
то кривая, определяемая уравнением y = f (x), называется вогнутой на этом промежутке.
   В этом случае середина любой корды кривой лежит выше соответствующей точки ее дуги (Смотри комментарий).
   Определение 4. Прямая линия называется асимптотой кривой, если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.
   Асимптоты разделяются на горизонтальные, вертикальные и наклонные (Смотри комментарий).