Определение
Свойства логарифмической функции
Основные тождества
Логарифмирование и потенцирование
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

   Так как показательная функция у = ах (а ≠ 1, а > 0) монотонна во всей области своего определения, то согласно теореме об обратной функции (гл. VII, § 7) она имеет обратную однозначную функцию, определенную во всей области изменения этой показательной функции.
   Определение. Функция, обратная показательной функции у = ах, называется логарифмической функцией и обозначается символом x = logay, где у является независимой переменной, х - функцией.
   Если перейти к привычным обозначениям, то получаем
y = logax                        (2)
(читается: "у равен логарифму числа х по основанию а". По определению логарифмической функции равенство (2) равносильно равенству
х = а y.                        (3)
   Это означает, что логарифмом числа х по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число х.
   Равенство (3) можно переписать в ином виде, если заменить в нем у его значением (2), т. е.
.                        (4)
   Все свойства логарифмической функции наглядно изображены на ее графике (смотри рисунок.). Этот график получается из графика показательной функции у = ах зеркальным отображением последнего относительно биссектрисы I и III координатных углов (см. гл. VII, §7). Перечислим эти свойства.
  1. Логарифмическая функция y = logax при положительном основании а ≠ 1 определена для всех положительных значений аргумента х, т. е. область определения этой функции есть бесконечный интервал (0, ∞) (поэтому говорят, что отрицательные числа и нуль не имеют логарифмов).
  2. logal = 0 и logaa = l при любом а > 0, а ≠ 1.
  3. Логарифмическая функция y = logax принимает все действительные значения, т. е. область ее изменения есть бесконечный интервал (- ∞, ∞).
  4. Логарифмическая функция y = logax монотонна во всей области своего определения. Она возрастает при а > 1 и убывает при а < 1.
  5. Из равенства loga x1 = loga x2 следует, что х1 = х2. Это равенство вытекает из монотонности логарифма.
Основные тождества:
  1. . Эта формула вытекает из определения логарифма.
  2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов сомножителей при том же основании, т. е.
    loga (x1·x2) = loga x1 + loga x2.
          Доказательство. Согласно равенству (4)
      и  .
    Поэтому
    .
    Полученное равенство в силу соотношений (2) и (3) равносильно равенству
    loga x1 + loga x2 = loga (x1·x2).
    Свойство (2) распространяется на любое конечное число положительных сомножителей.
       Замечание. Если х1·х2 > 0, то loga (х1·х2) существует даже в том случае, когда х1 < 0 и х2 < 0. Тогда
    loga (x1·x2) = loga | x1 | + loga | x2 |.
    так как в этом случае х1·х2 = | x1 |·| x2 |.
  3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя при том же основании, т. е.
    .
       Доказательство. Согласно равенству (4)
      и  .
    Поэтому
    .
    Следовательно,
    .
       Замечание. Если , а х1 < 0 и х2 < 0, то
    ,
    так как в этом случае
    .
  4. Логарифм степени равен произведению логарифма основания этой степени на показатель, т. е.
    loga xα = α·loga x,
    где α -любое действительное число, а х > 0.
       Доказательство. Так как , то
    .
    Следовательно,
    .
       Замечание. Если х < 0, то loga x2k = 2 k loga | x |, так как x2k = | x |2k.
       Следствие. Если α = 1/n, то и
    ,
    т. е. логарифм корня равен логарифму при том же основании от подкоренного выражения, деленному на показатель корня.
  5. Модуль перехода. Пусть нам известен логарифм некоторого положительного числа х по основанию а. Найдем логарифм того же числа х по другому основанию b (b > 0, b ≠ 1).
       Представив число х в виде
    ,
    найдем loga x. Имеем
    .
    Отсюда получаем, что
    .                        (5)
          Выражение 1/logab не зависящее от числа х, называется модулем перехода от основания а к новому основанию b. Обозначая его буквой М (М зависит только от а и b), перепишем соотношение (5) в виде
    logb x = M·loga x.
      Из равенства (5) вытекают такие следствия.
   Следствие 1. loga b·logb a = 1 или
.                        (6)
   В самом деле, полагая в формуле (5) х = а, имеем
.
   Следствие 2. Для любых х1 > 0 и х2 > 0 имеет место формула
loga x1·logb x2 = loga x2·logb x1.                        (7)
   В самом деле, согласно формуле (5)
.
Перемножая эти равенства и учитывая соотношение (6), получаем формулу (7).
   Следствие 3. Логарифм не изменит своего значения, если число и основание возвести в одну и ту же степень, т. е.
.                        (8)
где α - любое действительное число.
   В самом деле, полагая в равенстве (5) b = aα, для числа хα имеем
,
или
.
В частности, из формулы (8) получаем, что
.                        (9)
для любого х > 0.
   Логарифмирование и потенцирование. Каждому положительному числу при заданном основании соответствует определенное значение его логарифма. Нахождение логарифмов заданных чисел или выражений называется операцией логарифмирования. Заметим, что логарифмируя некоторое алгебраическое выражение, мы сводим операции возведения в степень, извлечения корня, умножения и деления к более простым операциям сложения и вычитания логарифмов и их умножения и деления на число.
   Для нахождения логарифмов чисел существуют таблицы логарифмов для различных оснований (а не только "десятичные" для а = 10). Общий принцип построения таблиц логарифмов состоит в следующем. Пусть а > 1 - основание логарифма и х - положительное число. Всегда можно подобрать такое целое число m, чтобы х было заключено между числами аm и аm+1, т. е. аm ≤ x < аm+1.
   Представим число х в виде
.                        (11)
где (например, для а = 2 и х = 17 имеем ; для а = 10 и x = 0,1093 имеем 0,1093 = 10-1·1,093 и т. д.). Тогда из равенства (10) получаем, что
loga х = loga (am·x1) = m + loga x1
причем 0 ≤ loga x1 < 1.
   Итак, логарифм любого положительного числа х можно представить в виде суммы двух частей - целой, называемой его характеристикой, и дробной, называемой его мантиссой. Характеристика может быть и отрицательной, мантисса всегда неотрицательна. Если характеристика отрицательна, то знак минус пишут над ней в виде черточки. Например, если m = - 3, а loga x1 = 0,0325, то пишут
   Рассмотрим десятичные логарифмы (а =10). Записав х в десятичной системе счисления х = а0·10n + а1·10n-1 + ... + ak·10n-k, где а0 ≠ 0, имеем
10n ≤ x < 10n+1.
Следовательно, характеристика lg x равна n. Логарифм по основанию 10 обозначается символом «lg». Например, lg 2,031 = 0, ..., так как 2,031 = 2·100 + 0·10-1 + 3·10-2 + 1·10-3, lg 0,02031 = - 2, ..., так как 0,02031 =2·10-2 + 0·10-3 + 3·10-4 + l·l0-5.
   Вообще, если х ≥ 1, то характеристика lg x; на единицу меньше числа десятичных разрядов в изображении целой части числа х.
   Если 0 < x < 1, то характеристика lg x содержит столько отрицательных единиц, сколько имеется нулей до первой значащей цифры в изображении числа х.
   Операция, обратная логарифмированию, называется потенцированием. Она состоит в отыскании х по заданному значению loga x. (Так как , то операция потенцирования есть возведение в степень.)
   Так как логарифмическая функция монотонна, то операции логарифмирования и потенцирования однозначны.