8_4

ВВЕРХ

Показательное уравнение вида a^u = a^v

Логарифмическое уравнение вида log _a u = log _a v

Показательное уравнение вида Aa^u = Bb^v

Показательное уравнение вида Аа^х + Вb^х = С

Показательное уравнение вида u ^v = u ^z

Полезные подстановки для некоторых логарифмических уравнений

Системы логарифмических и показательных уравнений

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

§ 4. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Показательные и логарифмические уравнения, т. е. такие, где неизвестные входят в показатель степени или находятся под знаком логарифмической функции, принадлежат к классу трансцендентных уравнений. Остановимся на некоторых типах таких уравнений и укажем приемы, сводящие эти уравнения к ранее изученным.

Рассмотрим показательное уравнение a^u = a^v, (14) где а ≠ 1 - положительный параметр, а один из показателей u и v или оба содержат неизвестное х. Согласно свойству VI (§ 1) из равенства степеней с одинаковыми основаниями вытекает равенство их показателей и обратно, т.е. u = v.
Пример 14. Решить уравнение Решение. Преобразуя данное уравнение к виду (14), имеем Это уравнение равносильно уравнению решая которое, находим
Рассмотрим уравнение вида log _a u = log _a v,                        (15) где а ≠ 1, a > 0, а одна из величин u и v или обе содержат неизвестное.
   Согласно свойству V (§ 2) из равенства логарифмов с одинаковыми основаниями вытекает равенство чисел, т. е. уравнение (15) равносильно уравнению u = v, при условии, что u > 0 и v > 0.
   Пример 2. Решить уравнение    Рещение. Данное уравнение равносильно уравнению lg 2 x = lg (4 x - 15)² при условии, что 4 x - 15 > 0 и 4 х - 15 ≠ 1.
   Переходя к равенству чисел, получаем квадратное уравнение 2 x = (4 x - 15)², корни которого х₁ = 9/2 и х₂ = 25/8. Так как 4 х₁ - 15 = 3 > 0, а 4 х₂ - 15 < 0, то х₂ = 25/8 не является корнем данного уравнения. Итак, единственный корень x = 9/2.
   Пример 3. Решить уравнение    Решение. Данное уравнение равносильно уравнению lg 2 (4 - 5 x - 6 x²) = lg (2 x - 1)³   (2 x - 1 ≠ 1), а последнее равносильно алгебраическому уравнению 2 (4 - 5 x - 6 x²) = (2 x - 1)³ при условий, что 4 - 5 х - 6 x² > 0 и 2 х - 1 > 0 и 2 х - 1 ≠ 1.
   Решая систему неравенств убеждаемся, что она несовместна, так как первое неравенство выполняется в интервале (- 4/3, 1/2), а второе в интервале (1/2, ∞). Из несовместности системы следует, что данное уравнение не имеет корней.
   Замечание. Этот вывод можно получить сразу, убедившись, что множество допустимых значений левой части данного уравнения пустое, т. е. не содержит ни одного числа.
Уравнение вида A a^u = B b^v,                        (16) где u и v содержат неизвестное, в общем случае решается логарифмированием обеих частей по одному основанию.
   Пример 4. Решить уравнение 2^x+3 - З^х²-2 = 3^x²+1 - 2^х-1.
   Решение. Преобразуем данное уравнение к виду (16). Имеем ,   или   ,   или   . Прологарифмируем обе части последнего уравнения по основанию 3: Решая это уравнение, находим
Рассмотрим уравнение вида А а^х + В b^х = С (17) (или А а^х + В b^x = С с^х, сводящееся к первому делением на с^х ≠ 0). В некоторых случаях это уравнение удается свести к алгебраическому уравнению относительно нового неизвестного. Например, если ab = l, то заменой а^х = у (тогда b^х = 1/y) уравнение (17) сводится к квадратному уравнению А у² - Су + В = 0. Если b = а^m (m - целое), то той же заменой уравнение (17) сводится к алгебраическому А у + В у^m = С. Пример 5. Решить уравнение Решение. Замечая, что положим (y > 0). После этой замены получаем квадратное уравнение у² - 4 у + 1 = 0, равносильное данному при условии, что y > 0. Его корни . Возвращаясь к неизвестному х, имеем , откуда х₂ = - 2.
Пример 6. Решить уравнение . Решение. Разделив все члены уравнения на и замечая, что , имеем Принимая, что , получаем квадратное уравнение y² + y - 1 = 0, равносильное данному при условии, что у > 0. Его корни и , причем у₂ < 0 не подходит. Возвращаясь к неизвестному х, имеем . Прологарифмируем это равенство по основанию 10 и найдем, что
Рассмотрим уравнение вида u ^v = u ^z,                        (18) где u, v и z (все или некоторые) содержат неизвестное. Функция u ^v (или u ^z) определена только для положительного основания и при этом условии уравнение (18) равносильно уравнению u^{v - z} = l или (v - z) log_a u = 0, которое в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений v - z = 0 и u = 1.    Как мы уже отмечали, при отдельных значениях v и z выражения u ^v и u ^z имеют смысл и для неположительных значений u. Однако те значения х, которые хотя формально и удовлетворяют равенству (18), но при которых u ≤ 0, не принято считать корнями уравнения (18).
   Пример 7. Решить уравнение    Решение. Данное уравнение равносильно уравнению или совокупности двух уравнений x - 1 = 1 и при условии, что x > 1. Из первого уравнения получаем x₁ = 2. Решая иррациональное уравнение, находим его корни х₂ = 3 и х₃ = -1. При х₃ = - 1 основание х - 1 < 0, поэтому х₃ = -1 не является корнем данного уравнения (хотя формально ). Итак, данное уравнение имеет два корня х₁ = 2; х₂ = 3.
   Пример 8. Решить уравнение .    Решение. Преобразуем данное уравнение к виду (18): Так как основание при всех х, то последнее уравнение равносильно уравнению или совокупности двух уравнений х - 2 = 0 и . Решая эти уравнения, находим x₁ = 2; .
В некоторых случаях с помощью подстановки y = log _a u или y = log _u a (u содержит неизвестное) логарифмическое уравнение сводится к алгебраическому.
Пример 9. Решить уравнение Решение. Учитывая, что перепишем данное уравнение: или Обозначив log_x 5 = у, имеем y² - 6 y + 5 + 0. Корни этого уравнения у₁ = 1, у₂ = 5. Возвращаясь к неизвестному х, находим log_x 5 = 1, х₁ = 5, log_x 5 = 5, х⁵ = 5, . В некоторых случаях перед заменой целесообразно привести логарифмы, входящие в уравнение, к одному основанию.
Пример 10. Решить уравнение Решение. Заметим, что Тогда, обозначая log₃x = y(y < 0), получаем иррациональное уравнение Решая его, находим, что у = - 2 ( у = 1 отбрасываем). Следовательно, log₃ x = -2 и х = 3^{- 2} = 1/9.

Пример 11. Решить уравнение

Решение. Так как

то полагая log₂ x = y, получаем алгебраическое уравнение

или у⁵ + у⁴ - у³ + у² - y - 1 = 0 (у ≠ - 1). Выделяя корень у₁ = 1, имеем симметрическое уравнение у⁴ + 2 у³ + y² + 2 y + 1 = 0 (см. гл. III). Решая его, находим

(y_4,5 - мнимые). Возвращаясь к неизвестному х, имеем log₂x = 1, т. е. х₁ = 2;

He останавливаясь подробно на логарифмических уравнениях, содержащих параметры (исследование решений в зависимости от параметров детально проведено в гл. IV), приведем лишь один пример такого уравнения.
Пример 12. Решить уравнение

, а > 0, b > 0, b ≠ 1. Решение. Переписав уравнение в виде log_b x + log_b ( 2 1ga - x) log_x b·log_b x = log_bb² (х > 0, х ≠ 1), замечаем, что оно равносильно уравнению x (2 lg a - x) = b² при условии, что 2 lg a - x > 0, х > 0 и х ≠ 1. Решая уравнение x² - 2 x lga + b² = 0, находим, что

. (*) Из формулы (*) следует, что x_l,2 действительны и положительны в том и только в том случае, когда lg a > 0 и lg²a - b² ≥ 0, т.е. lg a ≥ b. При этом х₁ и х₂ удовлетворяют ограничительному условию, так как

. Если а < 1, то lg a < 0 и решение не существует. Остается исключить те значения параметров, при которых х = 1, т.е.

Последнее имеет место при условии

.
Итак, данное уравнение имеет два решения

при a ≥ 10^b и

и одно решение х = b² при

. При a < 10^b уравнение решений не имеет.
В заключение этого параграфа рассмотрим несколько систем логарифмических и показательных уравнений.
Пример 13. Решить систему

Решение. Так как х > 0, то из первого уравнения имеем

или 4 log₂ x + log₂ (y + 1) = 6. Во втором уравнении log₈ x преобразуем к логарифму с основанием 2. Получаем

, или

, или log₂x·log₂(y + l) = 2. Таким образом, данная система равносильна системе

которая заменой log₂x = u и log₂(y + l) = v сводится к алгебраической

Решая ее, находим u₁ = l, v₁ = 2 и u₂ = 1/2, v₂ = 4.
Теперь для определения х и у мы получаем следующую совокупность систем:

Решая каждую из них, находим х₁ = 2, y₁ = 3 и x₂ =

, y₂ = 15. Пример 14. Решить систему уравнений

Решение. Выразив из второго уравнения одно из неизвестных через другое, можно свести систему к одному уравнению. Однако проще первое уравнение заменить равносильным алгебраическим уравнением. Преобразуя каждый логарифм к основанию 0,5, имеем

, или

. Так как log_0,5y ≠ 0 (y ≠ 1), то последнее уравнение равносильно уравнению log_0,5x y = 3, или хy = 0,125 при условии x > 0 и y > 0. Итак, данная система равносильна системе

Решая ее, находим

Пример 15. Решить систему уравнений

Решение. Из второго уравнения следует, что

. Тогда из первого уравнения получаем

или

, причем у > 0.
Поэтому последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений у = 1 и ¼y = 1. Итак, y₁ = 1, y₂ = 4. Решая уравнение

, находим

Итак, система имеет два решения: х₁ = у₁ = 1; х₂ = 2, y₂ = 4.
Пример 16. Решить систему

Решение. Из данной системы следует, что х > 0, у > 0 и z > 0. Из первого и второго уравнений выражаем х через у и z:

Сравнивая правые части полученных равенств, имеем

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений у = 1 и

Из последнего уравнения находим, что z = 4/5. Взяв у₁ = 1, из первого уравнения системы получаем х₁ = 1. Тогда из третьего уравнения следует, что z₁ = 2. Взяв z = 4/5 имеем

. Тогда из третьего уравнения системы следует, что

Итак, данная система имеет два решения: x₁ = y₁ = 1, z₁ = 2 и