ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
§ 5. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ЛОГАРИФМИЧЕСКУЮ И ПОКАЗАТЕЛЬНУЮ ФУНКЦИИ
- Пусть дано неравенство
α < a u < β, (20)
где u - некоторое выражение, содержащее неизвестное х; а α, β и а - заданные положительные числа или параметры.
Прологарифмируем данное неравенство по основанию а. Если а > 1, то неравенство (20) равносильно неравенству
loga α < u < log aβ.
Если 0 < а < 1, то неравенство (20) равносильно неравенству
loga α > u > log aβ.
- Если основание степени также зависит от х, т. е.
vα < v u < v β (21)
(v зависит от х, т. е. содержит х, причем v > 0), то неравенство (21) равносильно совокупности двух систем
и 
- Неравенство
α < log a a β (22)
можно представить в виде
logaa α < loga u < logaaβ. (23)
В силу монотонности логарифмической функции неравенство (23) равносильно одному из неравенств
aα < u < aβ при а > 1
или
aα > u > aβ при 0 < а < 1.
В частности, неравенство
logau < β (24)
равносильно одному из неравенств
0 < u < aβ при а > 1
или
u > aβ при 0 < а < 1.
(Из последнего следует, что u > 0, так как аβ > 0).
Неравенство
logau > β (25)
равносильно одному из неравенств
u > aβ, если a > 1,
или
0 < u < аβ, если 0 < а < 1.
Пример 1. Решить неравенство
Решение. Это неравенство типа (20), где 
,
β = 1. Так как a = ½ < 1, то оно равносильно неравенству
Последнее согласно результату (25) равносильно неравенству
0 < х2 - З х + 1 < 1.
Решая его (см. гл. III, § 14), находим
Пример 2. Решить неравенство
Решение. Данное неравенство перепишем в виде
0,l < | log0,1 x | < l.
Последнее равносильно совокупности двух систем
или согласно результатам (23), (25) и (24) совокупности систем
Таким образом, решения данного неравенства - интервалы 
.
Пример 3. Решить неравенство
Решение. Сгруппируем члены, содержащие 
. Имеем
Последнее равносильно совокупности двух систем
и 
Решая первую систему, находим x > 3/2; решая вторую, находим
.
И при решении неравенств иногда целесообразна замена неизвестного.
Пример 4. Решить неравенство
Решение. Учитывая, что
и полагая
получаем 
, или log2 y < - log2 у, т. е.
log2 y <. Последнее равносильно неравенству 0 < y < 1. Возвращаясь к неизвестному х, имеем
что в соответствии с результатом (21) равносильно неравенству
Решая последнее, находим 2 < х < ∞.
Пример 5. Решить неравенство
Решение. Данное неравенство согласно результату (24) равносильно неравенству
Полагая 
(тогда 
), имеем
,
или 0 < 2y2 + y - 1 < 9, причем y > 0. Таким образом, данное неравенство равносильно следующей системе:
Решая ее, находим, что ½ < y < 2. Следовательно, 
, или 
. Это неравенство согласно результату (21) равносильно неравенству -1 < x2 + 4x < 1, из которого находим, что
и 
.