Основные свойства определителей

Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки сделать столбцами и наоборот (это значит, что любое утверждение, верное для строк определителя, верно и для его столбцов):

, . Это свойство проверяется непосредственным вычислением.

Замена строк определителя соответствующими столбцами называется транспонированием. Поэтому свойство 1 можно сформулировать так: при транспонировании определитель не меняет своего значения.

Свойство 2. Если две троки (два столбца) определителя поменять местами, то изменится знак определителя:

, Это свойство проверяется непосредственным вычислением.

Свойство 3. Если все элемены какой - нибудь строки (столбца) равны 0, то определитель равен 0:

. Это свойство проверяется непосредственным вычислением.

Свойство 4. Если все элементы какой - нибудь строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя:

Это свойство проверяется непосредственным вычислением.

Свойство 5. Если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, значение определителя не изменится.

Это свойство проверяется непосредственным вычислением.

Свойство 6. Если в определителе есть две пропорциональные строки (столбца) то определитель равен нулю.
Это свойство доказывается с использованием свойств 3 и 5.

Свойство 7. Это свойство устанавливает связь между определителем третьего порядка и определителями второго порядка

Определитель второго порядка, стоящий множителем при а1, получается из определителя третьего порядка вычёркиванием строки и столбца, содержащих а1:

Два других определителя, стоящих в правой части равенства, получаются тем же способом: вычёркиванием строки и столбца, содержащих b и c. ,    . Равенство свойства 7 называется разложением определителя третьего порядка по элементам первой строки.

Такое разложение можно произвести по элементам любой строки (столбца). Знак члена разложения определяется с помощью следующей таблицы:

При разложении определителя по элементам какой - либо строки (столбца) будет то же чередование знаков, что и в соответствующей строке (столбце) таблицы. Таблицу легко запомнить так: на диагоналях – плюс, на остальных местах – минус.

Свойства 1 – 7 позволяют упростить вычисление определителя, если его непосредственное вычисление громоздко и кропотливо. Дадим общие рекомендации к вычислению таких определителей и покажем, как этими рекомендациями пользоваться, на примере определителя.

.

1.  Если строка (столбец) определителя содержит общий множитель (целый), вынести этот множитель за знак определителя.

Из третьего столбца определителя выносим общий множитель 11.

2.  Если какой - нибудь элемент определителя равен 0, разложить определитель по элементам строки или столбца, содержащих 0. Если ни один элемент определителя нулю не равен, преобразовать его с помощью свойства 5 так, чтобы в какой - нибудь строке (столбце) появились нули.

Прибавляем к первому столбцу третий, умноженный на (- 2)

3.  Разложить определитель по элементам той строки (столбца), каторая содержит большее число нулей.

Разлагаем последний определитель по элементам 1 - го столбца

Замечание. D – первая буква слова « determinant », что по латыни значит – « определяющий ». Определители и в русской математической литературе часто называют детерминантами.

Упростите и вычислите определитель .

1. Вынесем общие множители из первой и второй строк: .
2. Вынесем общий множитель из третьего столбца: .
3. К первому столбцу прибавим третий столбец: .
4. Разложить определитель по элементам 1 - го столбца: .

Пример 1. Вычислите определитель .

10	121	144	182	196

---

Пример 2. Вычислите определитель .

10	121	144	182	196