Свойства векторного произведения

1. .
2. .
3. – распределительные свойства относительно суммы векторов.

Докажем первое свойство. Векторы и имеют одинаковые модули и противоположные направления, т. е. являются не равными, а противоположными . Векторное произведение не обладает свойством переместительности; сомножители векторного произведения образуют упорядоченную пару.

На основании свойств 2 и 3 можно перемножать векторные многочлены и объединять числовые коэффициенты векторных сомножителей.

Векторное произведение векторов, заданных координатами

Найдём всевозможные векторные произведения ортов , и координатных осей и результаты вычислений занесём в таблицу

	0		-
	-	0
		-	0

Например, вектор обладает всеми тремя признаками векторного произведения ×.

1. Орт перпендикулярен ортам и .
2. Если смотреть из конца вектора , то кратчайший поворот к осуществится против часовой стрелки.
3. 

Итак . Таким образом = ×.

Таблицу векторного умношения ортов нужно запомнить. Чтобы помочь Вам в этом, приведём схему

Если на схеме кратчайший переход от первого сомножителя ко второму совершается в направлении, указанном стрелкой, то произведение равно третьему орту, взятому со знаком « плюс». Например, . Если на схеме кратчайший переход от первого сомножителя ко второму происходит в направлении, противоположном указанному стрелкой, то произведение равно третьему орту, взятому со знаком « минус ».

Например, . Произведение одноименных ортов равно 0.
Пусть даны векторы и .

1. Выразим векторы и через орты , и .
2. Перемножим векторно эти выражения
3. Упростим полученное векторное произведение (заменим векторные произведения ортов векторами, равными этим произведениям; а затем сгруппируем члены с одинаковыми ортами и вынесем в каждой группе орт за скобки)

Учитывая свойства определителей второго и третьего порядков, получим более компактную запись для векторного произведения

Итак, чтобы найти векторное произведение векторов и достаточно вычислить определитель

Коэффициенты при , и в разложении определителя по элементам первой строки являются координатами вектора , равного .
   Чтобы найти векторное произведение , где и надо вычислить определитель, у которого в первой строчке стоят элементы , и ; во второй строке – координаты первого множителя (Х₁, Y₁, Z₁); в третьей строке – координаты второго множителя (Х₂, Y₂, Z₂).

Все свойства векторного произведения можно обьяснить с использованием свойств определителе. Так, если поменять местами вторую и третью строки, изменится знак определителя, что соответствует перемене местами сомножителей векторного произведения.

Если вторая и третья строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю, что соответствует векторному произведению коллинеарных векторов.

---

Теперь можно решить задачи

Задача 1. Раскройте скобки и упростите выражение .

---

Задача 2. Найдите координаты вектора , равного , и его модуль, если и .

.

---

Задача. Вычислите с помощью векторного умножения площадь треугольника АВС, где А (1, 4, - 5), В (3, 6, - 4), С (5, 10, - 5).

Решение. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах - сомножителях; площадь треугольника АВС равнаиполовине площади параллелограмма ABCD.

1. Выберем любые две стороны треугольника, например, АВ и АС. Найдём координаты векторов и .
2. Найдём вектор, равный их векторному произведения (с помощью определителя)
3. Вычислим модуль этого вектора
4. Разделим его пополам .

При помощи векторного умножения можно найти направляющий вектор прямой, заданной общими уравнениями. Пусть прямая l задана общими уравнениями

A₁·x + B₁·y + C₁·z + D₁ = 0,    A₂·x + B₂·y + C₂·z + D₂ = 0.

Вектор , равный векторному произведению нормальных векторов и этих плоскостей является направляющим вектором этой прямой l.

Пример. Найдите угол между прямой и прямой не переходя к каноническим уравнениям.

Найдём направляющие векторы прямых

,  Используя формулу косинуса угла между векторами, получим