Меню
На главную страницу 1 раздела
Выбор главы
Предыдущий раздел
Следующий раздел

Определение смешанного произведения

Смешанным (векторно - скалярным) произведением векторов , , называется и через обозначается скалярное произведение векторов на вектор :

.

Смешанное произведение есть число, являющееся результатом скалярного умножения вектора на вектор .

Например, на рисунке изображён куб с ребром, равным 2 ед. Найдём смешанное произведение .
   Решение. .

Смешанное произведение векторов, заданных координатами

Пусть даны векторы , , .
Докажем, что .


Для этого
  1. Найдём координаты вектора :
  2. Выразим скалярное произведение векторов и :
    .

Пример. Найдите смещанное произведение векторов , и .

3 - 3 не знаю





Свойства смешанного произведения

  1. При перестановке двух сомножителей меняется знак смешанного произведения.
  2. При круговой верестановке сомножителей смешанное произведение не меняется.
    .
            Действительно, перестановке двух сомножителей смешанного произведения соответствует перестановка местами двух строк определителя, равного этому смешанному произведению; при этом знак определителя меняется на противоположный
.
            При круговой перестановке сомножителей происходит двухкратная перемена местами строк определителя, сопровождающаяся двумя переменами знака определителя, компенсирующими друг друга.
,   .
            В записи смешанного произведения не имеет значения какую пару рядом стоящих векторов умножать векторно
,
Действительно, для доказательства этого
   1)  воспользуемся свойством переместительности скалярного произведения
,
            2)  воспользуемся определением смешанного произведения
,



   3)  свойством цикличности смешанного произведения
,
            4)  далее опять по определению смешанного произведения
.
  1. Смешанное произведение обладает свойством переместительности

    .
    Число слагаемых в скобках может быть любым. Это свойство непосредственно следует из свойств распределительности скалярного и векторного произведений.
  2. Свойство сочетательности относительно числового множителя.
    .
    Это свойство вытекает из свойств сочетательности относительно числового множителя скалярного и векторного произведений. На основании свойств смешанного произведения можно преобразовывать его по тем же правилам, что и произведение многочленов в алгебре, с той лишь разницей, что, меняя порядок сомножителей, нужно учитывать перемену знака произведения.
  3. Если хотя бы два из сомножителей смешанного произведения коллинеарны, то смешанное произведение равно нулю.
       Это свойство опирается на свойство векторного произведения и свойство цикличности смешанного произведения
    .


Геометрический смысл смешанного произведения

   Если векторы , и некомпланарны, то равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах , и .
   Действительно, подставим в формулу объёма параллелепипеда
V = Sосн·H, то, чему равны основание и высота параллелепипеда
.
Правую часть формулы можно записать, используя определение скалярного произведения
.
Так как в данном случае > 0 (угод между векторами и – острый), то и .
   Если направить в противоположную сторону, то все рассуждения останутся в силе, но будет отрицательной, т. е. , .
   В данном случае < 0 (угод между векторами и – тупой), то и . В любом случае .





Признаки компланарности трёх векторов

            Даны три вектора , и , среди которых нет нулевых и коллинеарных. По определению векторного произведения известно, что ^ и ^ . Так как векторы , , компланарны, то и ^ . Учитывая признак перпендикулярности векторов, получим ( ) · = 0.
   Если три вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю. и Обратно, если смешанное произведение трёх векторов равно нулю, то эти векторы компланарны.

Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

            В координатной форме необходимый и достаточный признак компланарности векторов , , выглядит так:
.

Перейдём на страницу 07 и закрепим проуденный материал решением задач.







Задача 1. Определите, компланарны ли векторы , , .
ДА НЕТ
Задача 2. Определите, при каком значении х компланарны векторы .
х =
Задача 3. При каком значении х четыре точки А(х, 2, 1), В (2, 3, 0), С (2, - 1, - 2), D (5, 0, - 6) лежат в одной плоскости?
   Указания. 1. Найдите координаты векторов АВ, АС, AD или любых других, соединяющих данные точки. 2. Составьте необходимое и достаточное условие компланарности этих векторов. 3. Раскройте определитель и решите полученное уравнение относительно х.
х =

Решение некоторых задач аналитической геометрии с применением признака компланарности трёх векторов

   Применяя признаки компланарности трёх векторов, можно просто и изящно решить многие задачи аналитической геометрии на взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве.

   Одну такую задачу – о принадлежности одной и той же плоскости четырёх точек, заданных координатами, Вы только что решали. Рассмотрим ещё несколько задач.

Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Пусть даны точки М1 (х1, у1, z1), М2 (х2, у2, z2), М3 (х3, у3, z3). Возьмём на плоскости, проходящей через эти три точки, произвольную точку М (х, у, z).

Векторы
компланарны. Запишем признак компланарности этих векторов в координатной форме
.
            Это уравнение и определяет плоскость, проходящую через три точки М1, М2, М3. Чтобы привести это уравнение к виду Ах + Ву + Сz + D = 0, нужно раскрыть определитель. Удобно разложить его по элементам первой строки.
   Задача 4. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (1, 3, 4), М2 (3, 0, 2), М3 (3, 5, 7); приведите его к виду Ах + Ву + Сz + D = 0.
Уравнение плоскости

   Задача 5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через данные точку и прямую.
   Пусть даны точка М0 (x0, y0, z0) и прямая
.
Возьмём на плоскости, проходящей через данные прямую и точку, произвольную точку М (x, y, z). Векторы компланарны. Запишем условие компланарности векторов в координатной форме. Получим уравнение
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М (1, 3, 5) и прямую
.
Уравнение плоскости
Задача 6. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельной прямой . Далее смотри страницу 10.

Искомое уравнение следует из компланарности векторов

, и
Используя условие компланарности векторов в координатной форме, получим окончательно искомое уравнение
   Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую и параллельную прямой x + 1 = y = z.
Уравнение плоскости
   Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(5, 0, - 3) параллельно прямым
и .
Уравнение плоскости
   Найдите уравнение плоскости, проходящей через две параллельные плоскости в общем виде.


   Способ решения с примерением признака копланарности трёх векторов привлекателен своей универсальностью. Дадим общий план решеня многих задач на составление уравнения плоскости с помощью этого признака:
1) опрежедить координаты какой - нибудь точки М0 искомой плоскости (если эта точка не дана);
2) взять произвольную точку М на искомой плоскости и обозначить её координаты через x, у и z;
3) записать координаты вектора ;
4) определить координаты каких - нибудь двух неколлинеарных векторов и , принадлежащих искомой плоскости или ей параллельных;
5) убедиться, действительно ли векторы и не коллинеарны, проверить не пропорциональны ли их координаты);
6) записать условие компланарности векторов в координатной форме с помощью определителя, что и даст уравнение искомой плоскости;
7) определитель раскрыть и произвести всевозможные упрощения.
   Составить уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые
и
Уравнение плоскости
   Задача 1. Определите, пересекаются ли прямые
и .
Если пересекаются, определить точку их пересечения и составить уравнение плоскости, в которой лежат эти прямые.
Указание.  Прямые пересекаются тогда и только тогда, когда их направляющие векторы не коллинеарны и компланарны с вектором , где М1 – точка одной из прямых, а М2 – точка точка другой прямой.
   Задача 2. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (1, 2, 3) и М2 (2, 1, 1) и перпендикулярной плоскости 3·x + 4·y + z - 6 = 0.
Ответ. x - y + z - 2 = 0.
   Задача 3. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку М (1, 0, - 2) и перпендикулярной плоскостям x - 2y + z + 5 = 0 и 2x - y + 3z - 1 = 0.
Ответ. 5x + y - 3z - 11 =0.
   Задача 4. Найдите уравнение плоскости, проходящей через прямую и перпендикулярной плоскости x - y + 2z - 5 = 0.
Ответ. 7x - 3y - 5z - 20 = 0.
   Задача 5. Найдите уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М0 (1, 2, - 3) на прямую .
Ответ.
01

02
03

04
05

06
07

08
09

10
11

12