ВВЕРХ
– Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1(3, 10, − 1), А2(− 2, 3, − 5), А3 ( − 6, 0, − 3), А4 (1,−1, 2).
Р е ш е н и е. Выполним рисунок. 
Найдём координаты векторов, имеющих своим началом точку А1:
A1A2 = (− 5, −7, − 4), A1A3
= (− 9, − 10, - 2), A1A4 = (− 2, − 11, 3).
Объём пирамиды численно равен 1/6 смешанного произведения этих векторов:
.
Найдём смешанное произведение векторов, используя его выражение в координатной форме
.
Окончательно находим объём пирамиды
.
– Найдём уравнение плоскости П1, проходящей через точки А1 А2 А3.
.
Разложим определитель по первой строке
.
Раскроем далее определители второго порядка
,
или − 26·(x − 3) − (−26)·(y − 10)+ (−13)·( z +1) = 0,
или
− 26 x + 26 y − 13 z + 78 − 260 − 13 = 0,
или
− 26 x + 26 y − 13 z − 195 = 0.
Но, если последнее уравнение разделить на − 13, получим уравнение уравнение плоскости, проходящей через точки А1 А2 А3
2 x − 2 y + z + 15 =0.
– Найдём уравнение плоскости П2, проходящей через точки А4 А2 А3.
.
Разложим определитель по первой строке
,
или
( − 20 + 7)·(x − 1) − (15 − 49)·( y + 1) + (− 3 + 28)·(z − 2) = 0,
или
( −13)·(x − 1) − ( − 34)·( y + 1) + 25·(z − 2) = 0,
или
− 13 x + 34 y + 25 z + 13 + 34 − 50 = 0,
или окончательно уравнение плоскости, проходящей через точки А4 А2 А3 примет вид
− 13 x + 34 y + 25 z − 3 = 0,
– величину двухгранного угла А1 А2 А3 и А4 А2 А3;
Из уравнений плоскостей П1 и П2 найдём координаты их нормальных векторов
N1 (2; − 2; 1), N2 (− 13; 34; 25).
Найдём косинус угла между плоскостями как косинус угла между нормальными векторами этих плоскостей
Найдём в градусах угол φ ≈ 58° 36 ' 39 ''.
– Найдём уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3.
Известна точка А4 (1,−1, 2), через которую проходит прямая, и направляющий вектор N1 (2; − 2; 1), так как высота проходит в направлении нормального вектора плоскости П1. Воспользуемся каноническим уравнением прямой в пространстве
.
Параметрическое уравнение высоты имеет вид
– Найдём площадь грани А1, A2, А3.
Площадь грани А1, A2, А3 найдём через векторное произведение двух векторов, образующих стороны основания
Площадь грани А1, A2, А3 пирамиды найдём как половину площади параллелограмма, которая численно равна модулю найденного векторного произведения A1A2× A1A3
.
– расстояние от точки А4 до плоскости А1, A2, А3.
Воспользуемся формулой расстояния точки до плоскости:
.
РЕШЕНИЕ ПРИМЕРА В ПАКЕТЕ MAPLE
> restart:with(geom3d):
> point(A1,3,10,-1),point(A2,-2,3,-5),point(A3,-6,0,-3),point(A4,1,-1,2):
> gtetrahedron(T1,[A1,A2,A3,A4]);volume(T1);distance(A4,plane(p,[A1,A2,A3]));
> plane(p123,[A1,A2,a3]):Equation(p123,[x,y,z]);