ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОЕТРИИ

Пример 1

В четырёхугольнике ABCD точки E и F делят противоположные стороны АВ и CD пополам. Доказать, что

. Р е ш е н и е. Построим четырёхугольник ABCD (рис. 15.1).

По правилу сложения векторов имеем

(15.1) и

(15.2) По правилу сложения векторов и умножения вектора на число имеем

(15.3) Соотношение (15.3) с учётом (15.1) и (15.2) примет вид

. Если учесть, что векторы EB и EA являются противоположными и для них имеет место равенство по определению противоположных векторов

, то окончательно получаем требуемое соотношение

, что и требовалось доказать.

Пример 2

На векторах

построен параллелепипед. На основание параллелепипеда, построенного на векторах OC и OB, опущен перпендикуляр из точки А. Пусть М — основание этого перпендикуляра. Найти вектор

Р е ш е н и е. Единичный вектор

, перпендикулярный плоскости векторов

, можно построить через векторное произведение

. Найдём алгебраическую проекцию вектора

на направление вектора

. поэтому вектор OH определится соотношением

. Используя определение разности векторов, найдём

, что и требовалось доказать.

Пример 3

Положение точки М на плоскости определится декартовыми координатами М(8; − 6). Найти полярные координаты этой точки.
Р е ш е н и е. Найдём модуль радиуса – вектора точки М

. Так как мочка М лежит в IV четверти, то найдём тангенс угла наклона радиуса – вектора точки М к оси абсцисс

. Положение точки М на плоскости в полярной системе координат определяется значением модулем радиуса – вектора точки М и угла наклона радиуса – вектора точки М к оси абсцисс

. О т в е т.

— полярные координаты точки М.

Пример 4

Фигура ABCD является ромбом, у которого противоположные вершины имеют координаты А(2; 1) и С(6; 3) и острый угол ромба равен 60⁰. Найти координаты остальных вершин ромба.
Р е ш е н и е. Выполним рисунок 15.3 задачи

Используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости, найдём длину диагонали ромба

. Так как Δ АВС является правильным, то вектор AB получается из вектора AC поворотом последнего против часовой стрелки на угол 60⁰. Если вектор поворачивается на угол j без изменения длины, то координаты ( х'; y' ) нового вектора связаны с координатами (х; у) старого вектора соотношениями

(15.4) Так как вектор AC = (4, 2), то по формулам (15.4) найдём координаты векторов

. Учитывая, что координаты точки есть координаты радиуса – вектора этой точки, по правилу сложения векторов получим искомые координаты точек

. Ответ:

Пример 5

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А(3; − 4) и уравнения двух высот h₁: 7·х − 2·у − 1 = 0, h₂: 2·х − 7·у − 6 = 0.
Р е ш е н и е. Выполним рисунок задачи (Рис. 15.4)

Так как известны уравнения высот, то известны координаты нормальных векторов этих высот n₁(7; − 2) и n₂(2; −7). Так как стороны треугольника АВ и АС должны быть перпендикулярными этим высотам то для вывода уравнения этих сторон воспользуемся формой уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

. Другие вершины треугольника найдём как точки пересечения сто-рон АВ и АС и высотами h₁ и h₂. Для этого составим системы уравнений

(15.5)

(15.6) Координаты вершины В найдём из решения системы (15.5) В = (− 4; − 2), координаты вершины С найдём из решения системы (15.6) С = (1; 3).
Уравнение стороны ВС построим, воспользовавшись формой уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

(15.7) Из уравнения (15.7) окончательно получим уравнение стороны ВС: x − y + 2 = 0.
О т в е т: Уравнения сторон: AB : 2 x + 7 y + 22 = 0, AC : 7 x + 2 y − 13 = 0, BC : x − y + 2 = 0.

Пример 6

Даны точки А(− 4; 2), В(6; 4), С(− 6; −1), D(− 1; − 13). Найти проекцию вектора AB на вектор CD .
Р е ш е н и е. Найдём координаты векторов (рис. 15.5) AB = (6 + 4, 4 − 2) = (10, 2), CD = (− 1 + 6, - 13 + 1) = (5, − 12).

Найдём модуль вектора CD

(15.8) Найдём скалярное произведение этих векторов

(15.9) Воспользовавшись формулой проекции одного вектора на другой с учётом (15.8) и (15.9), окончательно найдём искомую проекцию

. О т в е т:

Пример 7

Даны две противоположные вершины квадрата А(− 3; 2), В(5; − 4). Найти другие стороны квадрата.
Р е ш е н и е. Найдём центр квадрата (рис. 15.6)

Найдём координаты вектора MB = (4, − 3). Так как векторы MC, MA, MD преобразованием поворота на углы

. координаты векторов MC, MA, MD получаются из координат вектора MB матрицей преобразования

. Находим координаты векторов

. По правилу сложения векторов находим координаты вершин

. О т в е т: С(4; 3), D(−2; −5).

Пример 8

Вектор OM длиной 8 ед. образует с осями Ox и Oz углы α = 45° и γ = 60⁰ соответственно. Найти координаты точки М.
Р е ш е н и е. Направляющие косинусы вектора удовлетворяют соотношению cos²α + cos²β + cos²γ = 1. (15.10) Из (15.10) находим

. Окончательно находим координаты вектора

. О т в е т:

Пример 9

Вектор AB имеет начало в точке А(3, 2, 7), модуль 15 ед., направляющие синусы удовлетворяют отношениям sin α : sin β : sin γ = 3 : 4 :5. (15.11) Найти координаты конца вектора.
Р е ш е н и е. Систему отношений (15.11) запишем в виде системы уравнений

(15.12) Используя (15.10) и (15.12), найдём

. (15.13) Используя (15.12) и (15.13) находим

Таким образом найдём направляющие косинусы вектора

. Зная направляющие косинусы вектора и его модуль, найдём координаты вектора

, z = 0.

Условию задачи удовлетворяют векторы с координатами

1) (12, 9, 0),
2) (− 12, − 9, 0),
3) (− 12, 9, 0),
4) (12, − 9, 0).

Используя правило сложения векторов

, получим координаты конечной точки вектора в каждом случае
1) (2, 3, 7) + (12, 9, 0) = (14, 12, 7),
2) (2, 3, 7) + (− 12, − 9, 0) = (− 10, − 6, 0),
3) (2, 3, 7) + (− 12, 9, 0) = (− 10, 12, 7),
4) (2, 3, 7) + (12, − 9, 0) = (14, − 6, 7).
О т в е т: (14, 12, 7), (− 10, − 6, 0), (− 10, 12, 7), (14, − 6, 7).

Пример 10

Через точку М(2, 5) провести прямую, пересекающую отрезок с концами Р (− 1, 2) и Q (5, 4) пополам.
Р е ш е н и е. Найдём середину отрезка PQ (рис. 15.7)

. Через найденную точку Z(2; 3) и точку М(2, 5) проведём прямую

(15.4)

В соотношении (15.4) нуль в знаменателе надо понимать как особый случай расположения прямой на плоскости: прямая параллельна оси ординат и имеет уравнение х = 2.

Пример 11

Даны середины сторон М₁(2, 3), М₂(− 1, 2), М₃(4, 3) треугольника АВС. Составить уравнения сторон этого треугольника.
Р е ш е н и е. Найдём векторы (рис. 15.8) M₁N₂ = (− 3, − 1), M₂M₃ = (5, 1), M₃M₁ = (− 2, 0).

Эти векторы направлены по средним линиям треугольника, значит, параллельны соответствующим сторонам треугольника. Так как известны точки, через которые проходят прямые и направления этих прямых, то можно составить уравнения этих прямых в параметрической форме

Пример 12

Найти проекцию точки М(− 5, 6) на прямую линию 7·х − 13·у − 105 = 0. (15.5) Р е ш е н и е. Вектор n = (7, − 13) направлен перпендикулярно прямой. Составим уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно данной прямой

(15.6)

Подставим (15.6) в уравнение прямой (15.5), получим уравнение, из которого найдём значение параметра t = 1, при котором произойдёт пересечение прямой (15.6) с прямой (15.5). Подставив это значение параметра в (15.6), найдём координаты точки пересечения А(2, −7). Это будет искомая проекция данной точки на данную прямую (15.5).