ВВЕРХ
Пример 13
У параллелограмма ABCD даны уравнения двух его сторон: 3·х + 4·у − 12 = 0 - уравнение стороны АВ и 5·х − 12·у − 6 = 0 - уравнение стороны AD. Известно, что точка Е(− 2, 13/6) есть середина стороны BC. Найти уравнения двух других сторон параллелограмма.
Р е ш е н и е. Из уравнения стороны AD имеем нормальный вектор этой стороны n1(5, − 12), откуда найдём направляющий вектор этой прямой l1(12, 5). Зная точку на прямой ВС и направляющий вектор прямой ВС,
построим уравнение стороны ВС
,
или 5·x − 12·y + 36 = 0. Решая систему уравнений сторон АВ и ВС
найдём координаты точки В(0, 3). Используя соотношения деления отрезка пополам
,
найдём координаты вершины С:
Построим уравнение стороны CD аналогично построению уравнения стороны ВС (рис. 15.10):
,
или окончательно 9·x + 12·y + 52 = 0.
Пример 14
Определить точку встречи луча 2·х − 3·у − 12 = 0 с осью абсцисс и определить уравнение отражённого луча
от оси абсцисс (рис. 15. 11).
Р е ш е н и е. Точка пересечения прямой с осью абсцисс определится решением системы уравнений
Луч пересечёт ось абсцисс в точке А(6, 0). Вектор n1(2, − 3) является нормальным вектором луча, следовательно, вектор n2(− 2, − 3) является нормальным вектором отражённого луча. Уравнение отражённого луча будет иметь вид
− 2·х − 3·у + С = 0. (15.8)
Подставими координаты точки А в (15.8), найдём значение параметра С = 12. Таким образом, уравнение отражённого луча будет иметь вид − 2·х − 3·у + 12 = 0.
Пример 15
Найти уравнение прямой, если известны точка А(− 5, 3), через которую проходит прямая, и точка В(3, 0) пересечения её с прямой абсцисс.
Р е ш е н и е. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки,
.
Подставив данные задачи, получим
,
или окончательно 3·х + 8·у − 9 = 0.
Пример 16
Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку А(− 6, − 4) и имеющий угловой коэффициент
.
Р е ш е н и е. Радиус – вектор, имеющий тот же угловой коэффициент, имеет координаты l = (− 3, 7). Подставив в параметрическое уравнение прямой
данные задачи, получим окончательно
Пример 17
Составить параметрическое уравнение прямой, пересекающей оси Ох и Оу в точках А(3, 0) и В(0, − 5).
Р е ш е н и е. Найдём направляющий вектор искомой прямой AB = (− 3, − 5). В этом случае параметрическое уравнение искомой прямой будет иметь вид
Пример 18
Даны уравнения двух сторон параллелограмма ABCD
x − y − 1 = 0, x − 2·y = 0 (15.9)
и точка пересечения его диагоналей М(3,− 1). Найти уравнения двух других его сторон.
Решение. Вершину параллелограмма найдём, как точку пересечения прямых (15.9), найдём из системы
Эта вершина параллелограмма будет иметь координаты А(2, 1). Так как точка М является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, то в этой точке диагонали делятся пополам (рис. 15.12)
,
откуда находим координаты вершины С:
xC = − xA + 2 xM = 4, yC = − yA + 2 yM = - 3.
Через вершину С проведём прямую параллельно стороне АС, которая имеет направляющий вектор n1(1, 1)
 ,
или
 ,
или окончательно x − y − 7 = 0. Через вершину С проведём прямую, параллельную прямой АВ, которая имеет направляющий вектор n2 = (2, 1)
 ,
или
 ,
или окончательно x − 2·y − 10 = 0.
О т в е т: x − 2·y − 10 = 0 – сторона АВ, x − y − 7 = 0 – сторона АС.
Пример 19
Для треугольника с вершинами А(0, 1), В(- 2, 5), С(4, 9) составить уравнения сторон ромба, вписанного в треугольник,
если одна из его вершин совпадает с точкой А и стороны, выходящие из этой вершины А, лежат на сторонах АС и АВ треугольника, а
вершина, противолежащая вершине А, лежит на стороне ВС (рис. 15. 13).
Р е ш е н и е. Уравнение стороны АА1 ромба совпадает с уравнение стороны АВ. Уравнение этой стороны найдём
 ,
или
2·х + у − 1 = 0. (15.10)
Уравнение стороны АС1 ромба совпадает с уравнение стороны АС. Уравнение этой стороны найдём
 ,
или
2·х − у + 1 = 0. (15.11)
Найдём координаты векторов
AB = (− 2, 4), AC = (4, 8). (15. 12)
Нормируя векторы (15. 12), найдём орты этих векторов
 (15. 13)
Вектор направления диагонали AD ромба найдём как геометрическую сумму векторов (15. 13)
 (15. 14)
Теперь можно построить уравнение диагонали AD
 ,
т. е. уравнением диагонали AD является х = 0. Далее построим уравнение стороны ВС
 ,
или окончательно
2·х − 3·у + 19 = 0. (15.15)
Из системы уравнений
найдём координаты вершины  .
Так как сторона DC1 параллельна стороне АВ, то уравнение сто-роны DC1 должно иметь вид
2·х + у + K1 = 0. (15.16)
Так как точка D лежит на прямой DC1, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (15. 16), откуда находим значение параметра
 (15. 17)
Подставив (15. 17) в (15.16), найдём уравнение
6·х +3·у − 19 = 0. (15.18)
стороны CD1 ромба. Так как сторона A1D параллельна стороне АС, то уравнение стороны AD должно иметь вид
2·х − у + K2 = 0. (15.19)
Так как точка D лежит на прямой А1D , то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (15. 19), откуда находим значение параметра
 (15. 20)
Подставив (15. 20) в (15.19), найдём уравнение
6·х − 3·у + 19 = 0. (15.21)
стороны A1D ромба.
Ответ: уравнения сторон ромба указаны соотношениями (15. 10), (15. 11), (15. 18), (15. 21).
Пример 20
Точка пересечения высот треугольника лежит в начале координат. Уравнения двух сторон треугольника имеют вид
х + 3·у − 1 = 0. (15.22)
3·х + 5·у − 6 = 0. (15.23)
Найти уравнение третьей стороны.
Р е ш е н и е. Решив систему уравнений (15. 22), (15. 23)
найдём координаты вершины треугольника  .
Из уравнений (15. 22), (15. 23) сторон треугольника найдём координаты направляющих векторов высот треугольника к этим сторонам
n1(1, 3), n2(3, 5) (15. 24)
Так как высоты треугольника по условию пересекаются в начале координат, то эти высоты имеют уравнения
h1: у − 3·х = 0,
h2: 3·у − 5·х = 0.
Координаты вершины  треугольника найдём из системы уравнений
Координаты вершины  треугольника найдём из системы уравнений
Уравнение стороны ВС треугольника найдём, воспользовавшись формой уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
 ,
или после упрощения 39·х − 9·у − 4 = 0.
Пример 21
Построить уравнения прямых, параллельных прямой 5·х - 12·у - 1 = 0 и отстоящих от неё на расстоянии 5 ед.
Р е ш е н и е. Пусть М(х, у) есть текущая точка искомых прямых, тогда по условию задачи
 .
Учитывая уравнение прямой и раскрывая модуль, получим
 (15. 25)
Для верхнего знака получим уравнение прямой 5·х + 12·у − 66 = 0, для нижнего знака получим уравнение прямой
5·х + 12·у + 64 = 0 (рис. 15.15).
Пример 22
Найти точки, отстоящие от прямых 4·х − 3·у + 20 = 0 и 3·х + 4·у − 3 = 0 на расстоянии 5.
Р е ш е н и е. Пусть М(х, у) искомая точка. По условию задачи
 (15. 26)
Первое равенство соотношений (15.26) есть уравнения двух биссектрис углов между данными прямыми Найти точки, отстоящие от прямых 4·х − 3·у + 20 = 0 и 3·х + 4·у − 3 = 0 на расстоянии 5.
или
х − 7·у + 23 = 0, (15.27)
7·х + у + 17 = 0. (15.28)
Из второго равенства соотношений (15.26)
следуют уравнения двух прямых
3 х + 4 у − 28 = 0, (15.29)
3 х + 4 у + 22 = 0. (15.30)
Составляя системы уравнений из (15.27) – (15.30)
 (15.31)
 (15.32)
 (15.33)
 (15.34)
Из (15.31) получим точку  , из (15.32) получим точку  , из (15.33) получим точку  , из (15.34) получим точку  .
О т в е т: , , , .
Пример 23
Даны две вершины А(0, 7) и В(− 2, 3) и площадь S = 3 треугольника АВС. Составить уравнения сторон треугольника, если известно, что третья вершина лежит на прямой х − 7 = 0.
Р е ш е н и е. Пусть С(х, у) — третья вершина треугольника. Из условия задачи известно, что х = 7. Подставляя в формулу площади треугольника
данные задачи, получим
 ,
откуда получим два значения у1 = 18 и у2 = 24. В данных условиях существует две вершины
С1(7, 18) и С2(7, 24).
Получим уравнение прямой АВ
или
2·х − у + 7 = 0. (15.35)
Получим уравнение прямой АС1
или
11·х − 7·у + 49 = 0. (15.36)
Получим уравнение прямой ВС1
или
5·х − 3·у + 19 = 0. (15.37)
Получим уравнение прямой АС2
или
17·х − 7·у + 49 = 0. (15.38)
Получим уравнение прямой ВС2
или
7·х − 3·у + 23 = 0. (15.39)
О т в е т: уравнения сторон треугольника АВС1 представлены уравнениями (15.35) (15.36), (15.37); уравнения сторон треугольника АВС2 представлены уравнениями (15.35) (15.38), (15.39).
Пример 24
Даны точки А(3, 0), В(− 1, - 2), С(− 3, 1) и D(7, 2). ). На прямой 5·х − 2·у − 95 = 0 найти точку, для которой треугольники МАВ и МСD были равновелики.
Р е ш е н и е. Построим уравнения прямой, проходящей через точки А и В
или
х − 2·у − 3 = 0.
Построим уравнения прямой, проходящей через точки С и D
или
х − 10·у + 13 = 0.
Найдём расстояние между точками А и В
 .
Найдём расстояние между точками С и D
 .
Пусть искомая точка имеет координаты M(xM, yM). Удовлетворяя требованию равенства площадей треугольников
АВС и ABD, получим соотношение
 ,
откуда следуют два соотношения 3·xM − 14·yM − 19 = 0, xM + 6·yM + 7 = 0.
Из системы уравнений  найдём координаты точки  .
Из системы уравнений  найдём координаты точки  .
О т в е т: , .
| 
