К разделу
ВЫБОР ВАРИАНТА К СОДЕРЖАНИЮ

Исследовать поведение функции y = x2 - 4·x - (x - 2)·ln(x - 1) в окрестности точки
х0 = 2 с помощью производных высших порядков.

   Р е ш е н и е. y(2) = 4 − 8 − 0 = − 4 — значение функции в исследуемой точке.
Вычислим первую производную функции: .
Подставим в полученное выражение значение x0 = 2: y '(2) = 4 − 4 − ln 1 = 0.
Вычислим вторую производную функции: . Подставим в полученное выражение x0 = 2: y '' (2) = 2 − 1 − 1 = 0.
Вычислим третью производную функции: . Подставим в полученное выражение x0 = 2: y '''(2) = 1 + 2 + 3 > 0.
   Так как порядок отличной от нуля производной нечётный, то это точка монотонности, так как значение отличной от нуля производной положительно, то это точка возрастания.

Решение примера в пакете MAPLE

>restart:f:=(x)->x^2-4*x-(x-2)*ln(x-1):x0:=2:
>f(x0);

- 4

>(D@@1)(f)(x);
>D(f)(2);

0

>(D@@2)(f)(x);
>(D@@2)(f)(2);

0

>(D@@3)(f)(x);
>(D@@3)(f)(2);

3

   Можно написать небольшую программу для определения в последовательности вычислений первой неравной нулю производной >restart:n:=6:f:=(x)->x^2-4*x-(x-2)*ln(x-1):x0:=2:for i from 1 to n do d[i]:=(D@@i)(f)(x0):if d[i]<>0 then i:=i+1:else d[i];fi;od;

d1: = 0
d2: = 0
d3: = 3
d5: = 30

Первая неравная нулю производная положительна и имеет третий порядок, значит, точка х = 2 является точка возрастания.