ВВЕРХ
Конус, радиус основания которого R, а высота Н, пересечён плоскостью, параллельной образующей. Каково должно быть расстояние между линией пересечения этой плоскости с плоскостью основания конуса и центром основания конуса, для того чтобы площадь сечения была наибольшей?
Р е ш е н и е. Введём обозначение х — расстояние между линией пересечения секущей плоскости с плоскостью основания конуса и центром основания конуса.
Коническим сечением в этом случае является парабола. Необходимо составить зависимость площади параболы АВС от х — расстоянием между линией пересечения секущей плоскости с плоскостью основания конуса и центром основания конуса. Известно, что площадь симметричного параболического сегмента равна двум третям произведения его основания на «стрелку» (высоту):
(1)
Используя теорему Пифагора, получим
(2)
Треугольник Δ SMD подобен треугольнику Δ ВКD, поэтому соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны:
,
или
,
откуда имеем
. (3)
С учётом (1), (2), (3) получим зависимость площади от параметра х:
.
Функция S= S(x) определена на отрезке х 
[− R; + R]. Производная функции S = S( x) имеет вид
.
По необходимому условию экстремума, если функция в данной точке достигает свой экстремум, то в этой точке производная функции равна нулю или не существует. Используя это условие, получим точки
.
Непрерывная функция S = S(x) на замкнутом отрезке х
[− R; + R] достигает максимальное или минимальное значения или в точках экстремума, или на концах отрезка:
О т в е т. Площадь наибольшая при 
и равна 
.