К разделу
ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ К СОДЕРЖАНИЮ

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций одного аргумента

  1. Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.
  2. Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.
  3. Дождевая капля, начальная масса которой m0, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь, так что убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропорциональности равен k). Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей и какова она? (Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)
  4. Рычаг второго рода имеет точку опоры в А; в точке В (АВ = а) подвешен груз Р. Вес единицы длины рычага равен k. Какова должна быть длина рычага, чтобы груз Р уравновешивался наименьшей силой? (Момент уравновешивающей силы должен равняться сумме моментов груза и рычага.)
  5. Расходы на топливо для топки парохода пропорциональна кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/час расходы на топливо составляют 30 руб. в час, остальные же расходы (не зависящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час?
  6. Три пункта А, В и С расположены не на одной прямой; Ð АВС = 600. Из пункта А выходит автомобиль, а одновременно из пункта В — поезд. Автомобиль движется по направлению к В со скоростью 80 км/час, поезд — по направлению к С со скоростью 50 км/час. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ = 200 км?
  7. На окружности дана точка А. Провести хорду ВС параллельно касательной в точке А так, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей.
  8. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.
  9. В данный сегмент круга вписать прямоугольник наибольшей площади.
  10. Около данного цилиндра описать конус наименьшего объёма (плоскости оснований цилиндра и конуса должны совпадать).
  11. Найти высоту прямого круглого конуса наименьшего объёма, описанного около шара радиуса R.
  12. Найти угол при вершине осевого сечения конуса наименьшей боковой поверхности, описанного около данного шара.
  13. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?
  14. Найти высоту конуса наибольшего объёма описанного около полушара радиуса R (центр основания конуса лежит в центре шара).
  15. Какова должна быть высота конуса, вписанного в шар радиуса R? Для того чтобы его боковая поверхность была наибольшей?
  16. Во сколько раз высота конуса данного объёма больше радиуса его основания, если известно, что боковая поверхность конуса наименьшая?
  17. Через данную точку Р(1, 4) провести прямую так, чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наименьшей.
  18. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, вписанного в эллипс .
  19. Найти наименьший по площади эллипс, описанный около данного прямоугольника (площадь эллипса с полуосями а и b равна π·a·b).
  20. Через какую точку эллипса следует провести касательную, чтобы площадь треугольника, составленного этой касательной и осями координат, была наименьшей?
  21. На эллипсе 2 ·х2 + у2 = 18 даны две точки А(1, 4) и В(3, 0). Найти на данном эллипсе третью точку С такую, чтобы площадь треугольника АВС была бы наибольшей.
  22. На оси параболы у2 = 2 ·р·х дана точка на расстоянии а от вершины. Указать абсциссу х ближайшей к ней точки кривой.
  23. Полоса железа шириной а должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет форму дуги кругового сегмента). Найти значение центрального угла, опирающегося на эту дугу, при котором вместимость желоба будет наибольшей.
  24. Бревно длиной в 20 м имеет форму усечённого конуса, диаметры оснований которого равны соответственно 2 и 1 м. Требуется вырубить из бревна балку наибольшего объёма с квадратным поперечным сечением. Ось балки совпадает с осью бревна. Каковы должны быть размеры балки?
  25. Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега (лагерь расположен на берегу). Если гонец может делать пешком по 5 км/час, а на вёслах по 4 км/час, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?
  26. Груз весом Р, лежащий на горизонтальной плоскости, должен быть сдвинут приложенной к нему силой F. Сила трения пропорциональна силе, прижимающей тело к плоскости, и направлена против двигающей силы. Коэффициент пропорциональности (коэффициент трения) равен k. Под каким углом φ к горизонту надо приложить силу F, чтобы величина её оказалась наименьшей? Определить наименьшую величину сдвигающей силы.
  27. Скорость течения воды по круглой трубе прямо пропорциональна так называемому гидравлическому радиусу R, вычисляемому по формуле , где S — площадь сечения потока воды в трубе, а р — смоченный (подводный) периметр сечения трубы. Степень заполнения трубы водой характеризуется центральным углом, опирающимся на горизонтальную поверхность текущей воды. При какой степени заполнения трубы скорость течения воды будет наибольшей? (Корни получающегося при решении задачи трансцендентного уравнения найти графически на миллиметровке).
  28. На странице книги печатный текст должен занимать S квадратных сантиметров. Верхнее и нижнее поля должны быть по а см, правое и левое — по b см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
  29. Вершина параболы лежит на окружности радиуса R, ось параболы направлена по диаметру. Каков должен быть параметр параболы, чтобы площадь сегмента, ограниченного параболой и её общей с окружностью хордой, была бы наибольшей? [Площадь симметричного параболического сегмента равна двум третям произведения его основания на «стрелку» (высоту).]
  30. Для какой точки Р параболы у2 = 2·р·х отрезок нормали в точке Р, расположенной внутри кривой, имеет наибольшую длину?