К разделу
ВЫБОР ВАРИАНТА К СОДЕРЖАНИЮ

Найти общее решение дифференциального уравнения
( 1 + x2 ) y'' + 2 xy' = 12 x3.

   Решение. Положим у ' = z, тогда уравнение примет вид

( 1 + x2 ) z' + 2 xz = 12 x3,

или

.

Это уравнение является линейным, поэтому к нему применим алгоритм решения линейных уравнений
  1. z = u(x)·v(x);
  2. ;
  3. ;
  4. ;
  5. ;
  6. ;
  7. ;
  8. ;
  9. ln | v | = - ln ( 1 + x ²);
  10. ;
  11. ;
  12. u ' = 12 x 3;
  13. ;
  14. d u = 12 x 3·d x;
  15. ;
  16. u = 3·x4 + C1;
  17. ;
  18. ;
  19. ;
  20. ;
  21. y = x3 - 3 x + 3 arctg x + C1 arctg x + C2;
  22. y = x3 - 3 x + ( 3 + C1 ) arctg x + C2 = x3 - 3 x + C'1 arctg x + C2.

Решение примера в пакете MAPLE

>restart:deqn:=(1+x^2)*(D@@2)(y)(x)+2*x*D(y)(x)=12*x^3;

>deqn1:=subs([D(y)(x)=z(x),(D@@2)(y)(x)=D(z)(x)],deqn);

>with(DEtools):odeadvisor(deqn1);

>dsolve(deqn1, [linear], useInt);

>sol1:=value(%);

>y:=collect(int(rhs(sol1),x)+C2,arctan(x));