К разделу
ВЫБОР ВАРИАНТА К СОДЕРЖАНИЮ

Найти общее решение дифференциального уравнения
y''' - 5·y '' + 6 y ' = 6 x2 + 2x - 5.   (1)

   Решение. Уравнение (1) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением третьего порядка с постоянными коэффициентами. Однородное уравнение, соответствующее уравнению (1), имеет вид

y''' - 5·y '' + 6 y ' = 0.   (2)

      Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (2) имеет вид

k3 - 5·k2 + 6 k = 0,   (3)

которое равносильно совокупности уравнений

в силу чего уравнение (3) имеет корни k1 = 0, k2 = 2, k3 = 3. Корни характеристического уравнения являются действительными и различными, поэтому общее решение однородного уравнения (2) имеет вид

y0 = C1 + C2·e2x + C3·e3x.   (4)

Частное решение уравнения (1) подберём по правой части. Так как в правой части находится многочлен второй степени и так как среди корней характеристического уравнения есть нулевой корень, то частное решение уравнения (1) ищем в виде

y* = x·( A x2 + B x + C ) = A x3 + B x2 + C x.   (5)

Продифференцировав (5) три раза, соответственно получим

( y* )' = 3 A x2 + 2 B x + C,   (6)
( y* )'' = 6 A x + 2 B,   (7)
(y*)''' = 6·A   (8)

Подставив (6) — (8) в (1) получим

6 A - 5 ( 6 A x + 2 B ) + 6 ( 3 A x2 + 2 B x + C ) = 6 x2 + 2 x - 5.   (9)

В левой части соотношения (9) раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по убывающим степеням аргумента

x2 (18 A) + x ( - 30A + 12 B ) + ( 6 A - 10 B + 6 C ) = 6 x2 + 2 x - 5.

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при одинаковых степенях аргумента совпадают. Применение этого принципа приводит к системе уравнений

решением этой системы будет . Таким образом, частное решение уравнения имеет вид

.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения линейного однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и какого либо частного решения неоднородного дифференциального уравнения:

.

Оформление решения примера в пакете MAPLE

> restart:
> deqn:=(D@@3)(y)(x)-5*(D@@2)(y)(x)+6*D(y)(x)=6*x^2+2*x-5;

> with(DEtools):odeadvisor(deqn);

> sol:=dsolve(deqn);

> sort(sol,x);

> phaseportrait(deqn,\ y(x),x=-3.5..1.4,[[y(0)=1,D(y)(0)=2,(D@@2)(y)(0)=1],[y(0)=2,D(y)(0)=2,(D@@2)(y)(0)=1],[y(0)=3,D(y)(0)=2,(D@@2)(y)(0)=1]],y=-4..5,stepsize=.05,linecolour=[gold,blue,red]);#Графики интегральных линий уравнения