К разделу
ВЫБОР ВАРИАНТА К СОДЕРЖАНИЮ

Найти общее решение дифференциального уравнения
y ''' + 4·y '' + 3 y ' = 4·(1 - x)·e-x.   (1)

   Решение. Уравнение (1) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением третьего порядка с постоянными коэффициентами. Однородное уравнение, соответствующее уравнению (1), имеет вид

y ''' + 4·y '' + 3 y ' = 0. (2)

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (2) имеет вид

k3 + 4·k2 + 3 k = 0, (3)

которое равносильно совокупности уравнений

в силу чего уравнение (3) имеет корни k1 = 0, k2 = - 1, k3 = - 3. Корни характеристического уравнения являются действительными и различными, поэтому общее решение однородного уравнения (2) имеет вид

y0 = C1 + C2·e-x + C3·e-3 x. (4)

Частное решение уравнения (1) подберём по правой части. Так как правая часть уравнения есть многочлен первой степени, умноженный на экспоненту е-х, и так как среди корней характеристического уравнения есть корень, равный - 1, то частное решение уравнения (1) ищем в виде

y* = x ( A x + B ) e-x = ( A x2 + B x ) e-x. (5)

Продифференцировав (5) три раза, соответственно получим

, (6)
, (7)
. (8)

Подставив (6) — (8) в (1), получим

Разделим левую и правую части на е-х:

.   (9)

В левой и правой части соотношения (9) раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по убывающим степеням аргумента

x ( - 4 A ) + 2 A - 2 B = 4 - 4 x

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при одинаковых степенях аргумента совпадают. Применение этого принципа приводит к системе уравнений

решением этой системы будет А = 1, В = - 1. Таким образом, частное решение уравнения имеет вид

y* = ( x2 - x ) e-x.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения линейного однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и какого либо частного решения неоднородного дифференциального уравнения:

y= C1 + C2·e-x + C3·e-3 x + ( x2 - x ) e-x.

Решение примера в пакете MAPLE

>restart:deqn:=(D@@3)(y)(x)+4*(D@@2)(y)(x)+3*D(y)(x)=4*(1-x)*exp(-x);

> with(DEtools):odeadvisor(deqn);

> lodu:=(D@@3)(y)(x)+4*(D@@2)(y)(x)+3*D(y)(x)=0;

>constcoeffsols(lodu,y(x));

>sol:=dsolve(deqn);

>sort(sol,x);

>phaseportrait(deqn,\ y(x),x=-3.5..2.4,[[y(0)=1,D(y)(0)=2,(D@@2)(y)(0)=1], [y(0)=2,D(y)(0)=2,(D@@2)(y)(0)=1],[y(0)=3,D(y)(0)=2,(D@@2)(y)(0)=1]],y=-4..5,stepsize=.05, linecolour=[gold,blue,red]); #Графики интегральных линий уравнения