К разделу
ВЫБОР ВАРИАНТА К СОДЕРЖАНИЮ

Найти общее решение дифференциального уравнения

y '' + 4·y = e-2x·(cos x + 2 sin x) (1)

      Решение. Уравнение (1) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Однородное уравнение, соответствующее уравнению (1), имеет вид

y '' + 4·y = 0. (2)

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (2) имеет вид

k2 + 4 = 0   (3)

которое имеет решение k1,2 = ± 2·i. Так как решения характеристического уравнения (3) комплексные, то общее решение однородного уравнения (2) имеет вид

y0 = C1·cos 2x + C2·sin 2x. (4)

Частное решение уравнения (1) подберём по правой части. Так как правая часть уравнения (1) есть произведение многочленов нулевой степени на sin 2x, cos 2x и на е-2х, то частное решение уравнения (1) ищем в виде произведения многочленов нулевой степени на sin 2x, cos 2x и на е-2х:

y* = e- 2x ( A cos x + B sin x ). (5)

Продифференцировав (5) два раза, соответственно получим

( y* ) ' = [ ( B - 2 A ) cos x + ( - A - 2 B) sin x ] e- 2x, (6)
( y* ) '' = [ ( 3 A - 4 B ) cos x + ( 4 A + 3 B ) sin x ] e- 2x. (7)

Подставив (6), (8) в (1) соответственно получим

[ ( 3 A - 4 B ) cos x + ( 4 A + 3 B ) sin x ] e- 2x + 4 e- 2x ( A cos x + B sin x ) = e-2x·(cos x + 2 sin x).

Разделим левую и правую части на е-2х:

( 3 A - 4 B ) cos x + ( 4 A + 3 B ) sin x + 4 ( A cos x + B sin x ) = cos x + 2 sin x.

В левой и правой части соотношения (8) раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по sinx и cosx:

( 7 A - 4 B ) cos x + ( 7 B + 4 A ) sin x = cos x + 2 sin x.

Две гармоники одного порядка равны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при одинаковых степенях cosx и sinx совпадают. Применение этого принципа приводит к системе уравнений

решением этой системы будет . Таким образом, частное решение уравнения имеет вид

Решение примера в пакете MAPLE

> restart:deqn:=(D@@2)(y)(x)+4*y(x)=exp(-2*x)*(cos(x)+2*sin(x));

> with(DEtools):odeadvisor(deqn);

> lodu:=(D@@2)(y)(x)+4*y(x)=0;

> constcoeffsols(lodu,y(x));

> sol:=dsolve(deqn);

> phaseportrait(deqn,\ y(x),x=-3.5..4, [[y(0)=1,D(y)(0)=2], [y(0)=2,D(y)(0)=2], [y(0)=3,D(y)(0)=2]],y=-4..5, stepsize=.05, linecolour= [gold,blue,red]);#Графики некоторых интегральных линий уравнения