lek_du4

ЛЕКЦИЯ 4

Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Линейно независимые функции.
Теоремы о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэфициентами.
Теорема Бернулли.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если дискриминант характеристического уравнения положительный.
Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если дискриминант характеристического уравнения отрицательный.
Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если дискриминант характеристического уравнения равен нулю.
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений в пакете MAPLE.
Примеры.
Уравнение гармонического колебательного движения.
Дифференциальное уравнение колебания гири, подвешенной к вертикальному стержню.
Дифференциальное уравнение колебаний груза, подвешенного к горизонтальному стержню.
Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Колебания скрученного вала.
Вопросы для самопроверки.

Линейные однородные дифференциальные уравнения

   Определение. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно совокупности искомой функции у и ее производных у', ..., y⁽ⁿ⁾, т. е. имеет вид y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + … + a_n(x) y = 0,                     (1) где а₀(x), а₂(x), ..., а_n(x) - заданные функции от х или постоянные, причем а₀(x) ≠ 0 для всех значений х из той области, в которой мы рассматриваем уравнение (1). В дальнейшем мы будем предполагать, что функции а₀(x), а₂(x), ..., а_n(x) непрерывны при всех значениях х, причем коэффициент а₀ = 1 (если он не равен 1, мы можем все члены уравнения поделить на него).
   Теорема 1. Если y = y₁ есть решение уравнения (1), то y = c·y₁ является тоже решением уравнение (1), где с — произвольная постоянная.
   Доказательство. Так y = y₁ является решением уравнения (1), то y₁⁽ⁿ⁾ + a₁(x) ·y₁^(n-1) + … + a_n(x) ·y₁ = 0.                     (2) Подставляя y = c·y₁ в уравнение (1), получим

(c y₁)⁽ⁿ⁾ + a₁(x) · (c y₁)^(n-1) + … + a_n(x) · (c y₁) = 0.

Воспользовавшись правилами дифференцирования, получим c·( y₁⁽ⁿ⁾ + a₁(x) ·y₁^(n-1) + … + a_n(x) ·y₁ ) = 0                     (3) в силу свойства (2). Что и требовалось доказать.
   Теорема 2. Если y₁ и y₂ является решением уравнения (1) то y = y₁ + y₂ есть тоже решение уравнения (1).
   Доказательство. Подставим y = y₁ + y₂ в (1)

(y₁ + y₂)⁽ⁿ⁾ + a₁(x) ·(y₁ + y₂)^(n-1) + … + a_n(x) ·(y₁ + y₂) = 0

Воспользовавшись правилами дифференцирования, получим

(y₁⁽ⁿ⁾ + a₁(x) ·y₁^(n-1) + … + a_n(x) ·y₁) + (y₂⁽ⁿ⁾ + a₁(x) ·y₂^(n-1) + … + a_n(x) ·y₂ ) ≡ 0.

Что и требовалось доказать.

Линейно независимые функции

Определение. Система функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) называется линейно зависимой, если существуют система постоянных c₁, c₂, … , c_n, такая, что

, и для которой будет выполнено соотношение

. В противном случае система функций будет называться линейно независимой.
Определение. Определитель вида

называется определителем Вронского.
Теорема 3. Если система функций линейно зависима, то определитель Вронского равен тождественно нулю.
Доказательство. Пусть система функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) линейно зависима, то есть не для всех одновременно равных нулю c₁, c₂, … , c_n выполняется соотношение c₁ ·f₁(x) + c₂ ·f₂(x) + … + c_n·f_n(x) ≡ 0. (4) Дифференцируя соотношение (4) n - 1 раз, составим систему алгебраических уравнений относительно c₁, c₂, … , c_n

                     (5) Так как однородная система линейных алгебраических уравнений имеет нетривиальное решение, то её главный определитель тождественно равен нулю. Поскольку для системы (5) главный определитель совпадает с определителем Вронского, то отсюда и вытекает справедливость теоремы.
   Теорема 4. Если определитель Вронского тождественно равен нулю для некоторой системы функций, то эта система функций является линейно зависимой.
   Доказательство вытекает из существования нетривиального решения системы (5) в этом случае.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения

Если y₁, y₂,… y_n есть линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения, то y = c₁ y₁ + c₂ y₂ + … + c_n y_n (6) есть общее решение этого уравнения.
Доказательство. То что (6) есть решение уравнения следует из теорем 1 и 2. Покажем, что можно найти такие постоянные c₁, c₂, … , c_n , что функция (6) будет удовлетворять заданным начальным условиям

Удовлетворяя начальным условиям, приходим к системе алгебраических уравнений относительно c₁, c₂, … , c_n

Так как главный определитель этой системы равен определителю Вронского, который не равен нулю, то эта система имеет единственное решение. Что и требовалось доказать.

Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэфициентами

Рассмотрим уравнение y⁽ⁿ⁾ + A₁ y^(n-1) + A₂ y^(n-2) + … + A_n-1 y' + A_n y = 0 (7) с постоянными коэфициентами, и будем искать его частные решения в виде y = e^kx, где k - не зависящий от х параметр. Образуя производные y' = k e^kx, y'' = k² e^kx, … ,y⁽ⁿ⁾ = kⁿ e^kx и подставляя их значения и значение y в уравнение (7), мы после сокращения на е^kх получим алгебраическое уравнение kⁿ + A₁ k^n-1 + A₂ k^n-2 + … + A_n-1 k + A_n = 0, (8) называемое характеристическим. Могут быть три случая.

Корни характеристического уравнения вещественны и различны. Если эти корни суть числа r₁, r₂,..., r_n, то мы имеем n частных решений: е^r₁х, е^r₂х, … , е^r_nх и общий интеграл будет y = C₁ е ^r₁х + C₂ е ^r₂х + … + C_n е ^r_nх. (9)
Среди вещественных корней уравненения (8) есть равные между собой. Если, например, r₁ = r₂ = .. . = r_m то выражение (37) принимает вид y = C₁ е ^r₁х + C₂ е ^r₁х + … + C_n е ^r_nх = A е ^r₁х + C_m+1 е ^r_m+1х + … + C_n е ^r_nх. где А = C₁ + … + C_m. Это выражение содержит не n, а только n - m произвольных постоянных, а потому перестает быть общим интегралом. Исследуя этот случай, положим для краткости y⁽ⁿ⁾ + A₁ y^(n-1) + A₂ y^(n-2) + … + A_n-1 y' + A_n y = F(y) (10) Тогда F(e^kx) = (kⁿ + A₁ k^n-1 + A₂ k^n-2 + … + A_n-1 k + A_n) e^kx или F(e^kx) = e^kx Φ (k), где Φ (k) = kⁿ + A₁ k^n-1 + A₂ k^n-2 + … + A_n-1 k + A_n. дифференцируя по параметру k, мы получим (11) Составим теперь m - ую производную от (10) по переменной k; будем иметь , Если в правой части этого равенства изменить порядок дифференцирования, то оно принимает вид , т. e. , и поэтому . Если теперь значку m давать последовательно значения 1, 2, 3,..., m, то равенства (11) можно переписать так: (12) Если же число r есть корень характеристического уравнения кратности m + l, то Φ(r) = 0, Φ'(r) = 0, Φ''(r) = 0, ... и Φ^(m)(r) = 0. Вследствие этого правые части равенств (12) обращаются в нули, откуда следует, что F (x e ^rx ) = 0, F (x² e ^rx ) = 0, … , F (x^m e ^rx ) = 0. А это значит, что кроме решения е ^rx существуют еще решения x e ^rx, x² e ^rx, x^m e ^rx. Вследствие этого общий интеграл напишется так: y = (C₁ + C₂ x + … + C_m+1 x ^m) e ^rx + C_m+2 e ^rm+2x + … C_n e^rnx.
Среди корней характеристического уравнения встречаются комплексные. Если коэфициенты A₁, A₂,..., А_n - вещественны (что мы предполагаем) и корень r₁ = α + i β, то, как известно, существует корень r₂ = α - i β. Этим двум корням соответствуют частные интегралы e^{(α + i β) x} и e^{(α - i β) x}, которые, применив формулу Эйлера, можно представить в виде е^{α х} (cos β x + i sin β x) и е^{α х} (cos β x - i sin β x). Общий интеграл тогда будет y = (C₁ + С₂) е^{α х} cos β x + (C₁ i - С₂ i) е^{α х} sin β x + C₃ e^r₃x + … + C_n e^r_nx или y = Г₁ е^{α х} cos β x + Г₂ е^{α х} sin β x + C₃ e^r₃x + … + C_n e^r_nx где Г₁ = C₁ + С₂, Г₂ = C₁ i - С₂ i. Если среди корней характеристического уравнения есть двукратный комплексный корень r₁ = r₂ = α + i β, то будет также и двукратный r₃ = r₄ = α - i β. В этом случае общий интеграл y = е^{α х} [ (C₁ + C₂ x) cos β x + (C₃ + C₄ x) sin β x] + C₅ e^r₃x + … + C_n e^r_nx

Теорема Бернулли

Если два каких - либо решения линейного дифференциального уравнения второго порядка являются линейно независимыми для какого - либо значения аргумента, то они линейно независимы для любого значения аргумента.
Доказательство. Пусть y₁, y₂ есть решения дифференциального уравнения

y'' + a(x)·y' + b(x)·y = 0.

Тогда

y₁'' + a(x)·y₁' + b(x)·y₁ = 0, y₂'' + a(x)·y₂' + b(x)·y₂ = 0.

Первое уравнение умножим на у₂, второе — на у₁ и вычтем

( y₁''·y₂ - y₂'' ·y₁ ) + a(x)·( y₁'·y₂ - y₁·y₂' ) ≡ 0.

Учитывая обозначение определителя Вронского для двух функций, получим уравнение с разделяющимися переменными для определителя Вронского

Решение этого уравнения имеет вид

Если W₀ ≠ 0, то W(x) ≠ 0.

Линейные однородные дифференциальные уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Если предположить, что решение уравнения y '' + a y ' + b y = 0 имеет вид y = e ^kx, то, подставив это соотношение в уравнение, получаем e ^kx ( k² + a k + b ) = 0. Если мы хотим, чтобы y = e ^kx было решением, необходимо, чтобы параметр k был решением квадратного уравнения k² + a k + b = 0, которое называется характеристическим, соответствующим данному дифференциальному уравнению.
Характер решения характеристического уравнения зависит от дискриминанта D = a² - 4·b.

Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если дискриминант характеристического уравнения положительный

В этом случае корни характеристического уравнения действительные и различные k₁ ≠ k₂. Тогда решением этого уравнения можно принять

. Эти решения являются линейно независимыми, так как их определитель Вронского для них не равен нулю

Используя теорему о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения, получим в этом случае общее решение в виде

Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если дискриминант характеристического уравнения отрицательный

В этом случае корни характеристического уравнения комплексные k = α ± ω i. Воспользовавшись формулой Эйлера

e^iω = cos ω + i sin ω

где i² = - 1 — мнимая единица, получим комплексные решения рассматриваемого уравнения y_1,2 = e^{α x} (cos ω x ± i sin ω x). Теорема. Если уравнение линейного однородного дифференциального уравнения имеет комплексное решение у = u(x)+i·v(x), то действительная и мнимая части этого решение являются тоже решением.
Доказательство. Пусть уравнение y '' + a y ' + b y = 0 имеет комплексное решение у = u(x) + i·v(x). В этом случае выполняется тождественно

(u + i v) '' + a (u + i v) ' + b (u + i v) ≡ 0.

Воспользовавшись правилами дифференцирования и выделяя действительную и мнимую части, получим

(u '' + a u ' + b u) + i (v '' + a v ' + b v) ≡ 0.

Комплексное выражение равно нулю тогда, когда действительная и мнимая части этого выражения равны нулю u '' + a u ' + b u ≡ 0 и v '' + a v ' + b v ≡ 0. Что и требовалось доказать.
Учитывая это можно считать, что y₁ = u = e^{α x} cos ω x и y₂ = v = e^{α x} sin ω x Эти решения являются линейно независимыми, так как определитель Вронского для этой системы функций не равен нулю

Поэтому в силу теоремы о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения имеем y_1,2 = e^{α x} (C₁ cos ω x + i C₂ sin ω x).

Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если дискриминант характеристического уравнения равен нулю

В данном случае корни характеристического уравнения k₁ и k₂ равные действительные числа. В этом случае

Первое частное решение запишем в виде

Второе частное решение найдём из условия, которому удовлетворяет определитель Вронского для этого уравнения

W = W₀·e^{- a x}.

При этом будем предполагать, что W₀ = 1. Это уравнение в развёрнутой форме имеет вид

y₁·y₂' - y₁'·y₂ = e^{- a x}.

Разделив обе части на y₁², получим

или

Интегрируя последнее соотношение с учётом

получим

Так как эти функции линейно независимы, то общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид

y = (C₁ + C₂ x) e ^kx.

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений в пакете MAPLE

Зададим дифференциальное уравнение второго порядка (точнее — левую его часть)
> restart:deqn:=(D@@2)(y)(x)+2*D(y)(x)+5*y(x);

Зададим команду аналитического решения этого уравнения
> dsolve(deqn,y(x));

Зададим команду поиска базисного решения
> dsolve(deqn,y(x),output=basis);

Зададим начальные условия
> unit:=y(0)=2,D(y)(0)=1;

> Зададим команду поиска частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям
> dsolve({deqn,unit},y(x));

> Зададим команду численного решения этого уравнения
> F:=dsolve({deqn,unit},y(x),numeric);

Зададим команду построения графика найденного частного решения
> plots[odeplot](F,[x,y(x)],0..4,labels=[x,y],color=black,thickness=2); (смотри рисунок.) Замечание. В теории колебаний вышеприведённый график соответствует случаю "мягкого демпфирования" (корни характеристического уравнения комплексные, действительная часть этих корней отрицательна). Для жёсткого демпфирования график колебания имеет вид (корни характеристического уравнения действительные, различные и отрицательные).

(смотри рисунок.)

или

(смотри рисунок.)

Примеры

   Пример 1. Найти общее решение уравнения y '' + y ' - 2 y = 0.
   Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k² + k - 2 = 0, его корни k₁ = 1, k₂ = - 2 вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения y₁ = e ^x, y₂ = e^{-2 x}. Общее решение уравнения y = C₁ e ^x + C₂ e^{-2 x}    Пример 2. Найти общее решение уравнения y '' - 2 y ' + y = 0.
   Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k ² - 2 k + 1 = 0, его корни k₁ = k₂ = 1 вещественные и равные. Соответствующие частные решения уравнения y₁ = e^x, y₂ = x e^x. Общее решение уравнения определится соотношением y = (C₁ + C₂ x) e^x.    Пример 3. Найти общее решение уравнения y '' - 4 y ' + 13 y = 0
   Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k ² - k + 13 = 0; его корни k = 2 ± 3 i комплексные. Соответствующие частные решения уравнения y₁ = e^{2 x} cos 3x, y₂ = e^{2 x} sin 3x. Общее решение уравнения определится соотношением y = e^{2 x}(C₂ cos 3x + C₂ sin 3x).    Пример 4. Решить уравнение y '' + 2 y ' + 5 y = 0.
   Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k ² + 2 k + 5 = 0 и корни этого характеристического уравнения комплексные

В данном случае α = - 1, β = 2 и общее решение этого уравнения запишется в виде y = e ^{- x} (C₁ cos 2x + C₂ sin 2x).

y = e ^{- x} (C₁ cos 2x + C₂ sin 2x).

Пример 5. y"" - З y'" + 6 y " - 12 y' + 8 y = 0.
Решение. Характеристическое уравнение k⁴ - З k³ + 6 y² - 12 k + 8 = 0 дает корни: k₁ = 1, k₂ = 2, k₃ = 2 i и k₄ = -2 i. Общий интеграл y = С₁е ^х + С₂ e^{2 x} + C₃ cos 2х + C₄ sin 2x.

Уравнение гармонического колебательного движения

Предположим, что точка массы m двигается прямолинейно под действием силы Р. Так как сила равна произведению массы m на ускорение

(x - расстояние точки от начала координат, t - время), то имеем дифференциальное уравнение m

= P прямолинейного движения точки. Среди различных возможных случаев прямолинейного движения точки надлежит выделить как особо важный случай так называемое гармоническое колебательное движение. Такое движение совершает точка, притягиваемая к неподвижному центру силой, пропорциональной расстоянию до него.
Примем прямую, по которой движется точка, за ось ОХ (смотри рисунок.).
Притягивающая сила Р = - k²mx, где х - расстояние точки от неподвижного центра О, а k² - коэфициент, численно равный величине силы притяжения единицы массы, отстоящей от центра на единицу расстояния. Подставив это в написанное выше уравнение, мы получим дифференциальное уравнение движения в виде m

= - k²mx. Общий его интеграл x = C₁ cos k x + C₂ sin k x. (13) Произвольные постоянные могут быть определены, если заданы начальные условия. Пусть в момент t = 0 положение точки М определялось абсциссой х = а, а начальная скорость была

= α. Внося эти выражения х и

в уравнение (13) и в уравнение

= - C₁ k sin kt + С₂ k cos kt, полученное из (13) дифференцированием, мы найдем С₁ = a, С₂ = α/k. Тогда

. Интеграл этот представляют иногда в другой форме, полагая а = R sin μ и α/k = R cos μ. В таком случае x = R sin (μ + k t), (14) причем

. Величина R называется амплитудой, μ начальной фазой и k - частотой колебания.
Заменяя в уравнении (14) t на t +

, мы видим, что абсцисса х принимает прежнее значение. Отсюда заключаем: рассматриваемое движение есть периодическое и его период равен

. Зависимость между абсциссой х и временем t можно изобразить графически. Откладывая значения переменной t на оси абсцисс, а значения х - на оси ординат, получим синусоиду (анимация).

Дифференциальное уравнение колебания гири, подвешенной к вертикальному стержню

Предположим, что к вертикальному стержню длиной L подвешена гиря весом Q (смотри рисунок).
Под влиянием веса гири стержень удлинится. Его "статичгское" удлинение

, где Е - модуль Юнга материала стержня, а F - площадь его поперечного сечения.
Дадим стержню некоторое дополнительное удлинение λ. Для этого к нему придется приложить дополнительную силу, равную

. Прекратив мгновенно действие этой силы, предоставим гирю самой себе. Гиря начнет колебаться в вертикальном направлении. Чтобы написать дифереициальное уравнение движения гири, рассмотрим те силы, которые приложены к ней в тот момент, когда центр ее тяжести находится на некотором расстоянии у от своего начального положения О. Эти силы таковы: 1) вес гири Q (действует сверху вниз); 2) сила упругости стержня, стремящаяся уничтожить статическое удлинение l; эта сила равна Q и действует снизу вверх; 3) сила упругости стержня, стремящаяся уничтожить удлинение у; эта сила равна

и действует также снизу вверх.
Направим ось OY вертикально вниз. Дифереициальное уравнение движения гири будет

или

, где

. (При этом мы не принимаем во внимание веса самого стержня.)
Мы видим теперь, что гиря будет совершать около точки гармоническое колебательное движение. Период колебаний

, а амплитуда

(потому что а = λ и α = 0); число колебаний в минуту

Дифференциальное уравнение колебаний груза, подвешенного к горизонтальному стержню

Предположим, что к середине стержня (смотри рисунок), лежащего на двух опорах, подвешен груз Q. Этот груз вызовет "статический" прогиб

, где L - длина стержня, I - момент инерции поперечного сечения относительно его нейтральной оси, а E - модуль Юнга стержня.
Дадим стержню дополнительный прогиб φ. Для этого придется к его середине приложить дополнительную силу

. Мгновенно отняв эту силу, предоставим стержень самому себе (не сообщая ему начальной скорости); стержень начнет колебаться. Рассмотрим силы, приложенные к середине стержня в тот момент, когда она находится на расстоянии у от своего начального положения О. Эти силы таковы:

1) груз Q, действующий сверху вниз;
2) сила упругости стержня, стремящаяся уничтожить статический прогиб f; она равна Q и направлена снизу вверх;
3) сила упругости стержня, стремящаяся уничтожить прогиб у.

Эта сила равна

и направлена снизу вверх. Направляя ось OY сверху вниз, имеем дифференциальное уравнение колебания

или

, где

.
Середина стержня совершает около точки О гармонические колебания с периодом

и амплитудой R = φ. Число колебаний в минуту

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Колебания скрученного вала

. Пусть точка М(х, у) массы m движется в плоскости XOY под действием силы P. Обозначив проекции силы на координатные оси буквами X и Y, будем иметь два дифференциальных уравнения движения точки:

. Воспользуемся ими для составления дифференциального уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси. Помножив обе части первого уравнения на у, а второго на х, вычтем из второго результата первый. Мы получим

. Вводя полярные координаты, будем иметь x = ρ соs θ и y = ρ sin θ, где ρ - радиус-вектор точки М, а θ - угол, образуемый им с осью ОХ. Будем иметь

.
Следовательно,

. Предположим теперь, что движение есть вращение точки вокруг оси, проходящей через начало координат. В таком случае радиус-вектор ρ - постоянен. Полученное уравнение перепишется так:

. В случае вращения твердого тела вокруг оси нетрудно теперь получить дифференциальное уравнение

, где I - момент инерции тела относительно оси вращения, а М - вращающий момент.
В виде приложения рассмотрим уравнение колебаний скрученного вала. Представим себе круглый вал, одним концом заделанный неподвижно (смотри рисунок). Закрутим другой конец его на угол θ. Для этого придется приложить к этому концу -закручивающий момент М, причем

, где L - длина вала, G - модуль сдвига, I_p - полярный момент инерции сечения вала.
Вслед затем крутящий момент отнимем. Вал начнет колебаться. дифференциальное уравнение его колебаний будет

, где

. Полученное уравнение есть уравнение гармонического колебательного движения. Вал будет колебаться, и период колебаний

В тех случаях, когда период собственных колебаний вала близок к периоду создаваемых в нем колебаний, могут возникнуть, вследствие резонанса , напряжения, опасные для целости вала.

Вопросы для самопроверки

Какой вид имеет линейное однородное дифференциальное уравнение?
Какие функции называются линейно независимыми?
Какой вид имеет определитель Вронского?
Как связаны линейная независимость системы функций и определитель Вронского для них?
Сформулируйте и докажите теорему Бернулли.
Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
Что называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения.
Какой вид имеет общее решение линейного однородного дифференциального уравнения, когда его характеристическое уравнение имеет действительные и различные решения? Дайте обоснование.
Какой вид имеет общее решение линейного однородного дифференциального уравнения, когда его характеристическое уравнение имеет комплексные решения? Дайте обоснование.
Какой вид имеет общее решение линейного однородного дифференциального уравнения, когда его характеристическое уравнение имеет действительные и совпадающие решения? Дайте обоснование.
Какой характер имеет колебание в случае мягкого демпфирования системы?
Какой характер имеет колебание в случае жёсткого демпфирования системы?
Установите линейную зависимость или линейную независимость системы функций { y₁ = e^2x, y₂ = x e^2x } .
Установите линейную зависимость или линейную независимость системы функций { y₁ = e^2x·cos 3x, y₂ = e^2x·sin 3x }.
Установите линейную зависимость или линейную независимость системы функций { y₁ = sin 3x·cos 3x, y₂ =sin 6x }.