ВВЕРХ
ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
Найти экстремумы функции
z = f ( x, y ) (1)
при заданных ограничениях
F ( x, y, z ) = 0. (2)
Р е ш е н и е. Возьмём дифференциал от левой и правой частей соотношений (1) и (2)
(3)
. (4)
Так как d z = 0, то (3) и (4) примут вид
, (5)
. (6)
Из соотношения (6) найдём
и подставим в соотношение (5)
. (7)
Так как dх ≠ 0, то из соотношения (7) следует условие для определения условного экстремума
. (8)
К соотношению (8) следует присоединить соотношения (1) и (2). Таким образом, система соотношений (1), (2) и (8) определит экстремумы функции (1) при условии (2).
Рассмотрим решение на конкретном примере. Найдём экстремумы функции
z = 4·x2 + 5·y2 (9)
при заданных ограничениях 3·x – 5·y + 6·z – 30 = 0. (10)
Возьмём дифференциал от левой и правой частей соотношений (9) и (10)
dz = 8·x·dx + 10·y·dy, (11)
3·dx – 5·dy + 6·dz = 0. (12)
Так как dz = 0, то (11) и (12) примут вид
8·x·dx + 10·y·dy = 0, (13)
3·dx – 5·dy = 0 (14)
Из соотношения (14) найдём
и подставим в соотношение (13)
( 4·x + 3·y )·dx = 0.
Так как dх ≠ 0, то имеем систему условий для определения условного экстремума
Решением этой системы является
x1 = 0,56347; y1 = – 0,75129; z1= 4,0922;
x2 = – 0,68847; y2 = 0,91796; z2 = 6,1092.
Таким образом, система имеет две экстремальные точки.
Оформление решения в пакете MAPLE
>restart:with(plots):
>z:=(x,y)->4*x^2+5*y^2;
>g:=3*x-5*y+6*z-30;
>sf:=plot3d(z(x,y),x=-2..2,y=-2..2, style=PATCHCONTOUR,light=[100,20,0.9,0.9,0.9]):
pl:=implicitplot3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z= 0..8,style=PATCHNOGRID,light=[100,20,0.9,0.8,0.7]):
>display(sf,pl,title=`Условный экстремум`);
>D[1](z)(x,y);D[2](z)(x,y);
>con1:=D[1](z)(x,y)*dx+D[2](z)(x,y)*dy=0;
>con2:=diff(g,x)*dx+diff(g,y)*dy=0;
>con2:=solve(con1,dy)=solve(con2,dy);
>con3:=con2/dx;
>sis:={con3,g,z=z(x,y)};
>sol:=solve(sis);
>allvalues(sol);
>evalf(%);
