ВВЕРХ
ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
Найти максимальное и минимальное значения функции z = 3·x2 + 4·y2– x – 2·y в замкнутой области треугольника с вершинами А(– 1; 2), В(- 3; – 1), С(1; 3).
Р е ш е н и е. Непрерывная функция в замкнутой области достигает своего наибольшего и наименьшего значения или в точках экстремума внутри области, или на границе области. Если в какой – либо точке функция достигает экстремум, то в этой точке частные производные функции обращаются в нуль, или не существуют. Использование этого необходимого условия экстремума приводит к системе уравнений
Решением этой системы является 
. Как видно из рисунка, этот экстремум не принадлежит области
Поэтому наименьшее и наибольшее значение функции достигается на границе области. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две заданные точки
,
получим уравнения сторон треугольника. Уравнение стороны АВ
3·х – 2·у + 7 = 0.
Уравнение стороны АС
х – 2·у + 5 = 0.
Уравнение стороны ВС
х – у + 2 = 0.
Условный экстремум функции на прямой АВ достигается в точке Э1 
.
Эта точка лежит на стороне АВ треугольника. Функция в этой точке принимает значение 
.
Условный экстремум функции на прямой АС достигается в точке Э2 
.
Эта точка не лежит на стороне АС треугольника. Значение функции в этой точке вычислять не надо.
Условный экстремум функции на прямой ВС достигается в точке Э3 
.
Эта точка лежит на стороне ВС треугольника. Функция в этой точке принимает значение 
.
Таким образом
,
Оформление задачи в пакете MAPLE
> restart:with(plottools):with(plots):with(geometry): f:=(x,y)->3*x^2+4*y^2-x+2*y;
> point(A,-1,2):point(B,-3,-1):point(C,1,3): triangle(T,[A,B,C]):T1:=DefinedAs(T):map(coordinates,T1):tr:=polygonplot(map(coordinates,T1),color=yellow,axes=NORMAL,thickness=2):
>t1:=textplot([coordinates(A)[1],coordinates(A)[2],`A`],align={ABOVE,LEFT},font=[TIMES,BOLD,14],color=black):t2:=textplot([coordinates(B)[1],coordinates(B)[2],`B`],align={ABOVE,LEFT},font=[TIMES,BOLD,14]):t3:=textplot([coordinates(C)[1],coordinates(C)[2],`C`],align={ABOVE,RIGHT},font=[TIMES,BOLD,14]):
> eq1:=diff(f(x,y),x)=0:eq2:=diff(f(x,y),y)=0:sis:={eq1,eq2}:s:=solve(sis);
> x1:=rhs(select(has,s,x)[1]):y1:=rhs(select(has,s,y)[1]):t4:=textplot([x1,y1,`Экстремум`],align={BELOW,RIGHT},font=[TIMES,BOLD,14]):p:=pieslice([x1,y1],0.07,0..2*Pi,color=grey):display(tr,p,t1,t2,t3,t4);
> line(l1,[A,B]):line(l2,[A,C]):line(l3,[B,C]):_EnvHorizontalName :=x: _EnvVerticalName := y:Equation(l1);Equation(l2);Equation(l3);
> g1:=Equation(l1):e1:=extrema(f(x,y),{g1},{x,y},'s1');ex1:=allvalues(s1);
> x2:=rhs(select(has,ex1[1],x)[1]):y2:=rhs(select(has,ex1[1],y)[1]):p1:=pieslice([x2,y2],0.05,0..2*Pi,color=red):t5:=textplot([x2,y2+0.2,`Y1`],align={ABOWE,LEFT},font=[TIMES,BOLD,14]):g2:=Equation(l2):e2:=extrema(f(x,y),{g2},{x,y},'s2');ex2:=allvalues(s2);
> x3:=rhs(select(has,ex2[1],x)[1]):y3:=rhs(select(has,ex2[1],y)[1]):p2:=pieslice([x3,y3],0.05,0..2*Pi,color=red):t6:=textplot([x3,y3+0.2,`Y2`],align={ABOWE,LEFT},font=[TIMES,BOLD,14]):g3:=Equation(l3):e3:=extrema(f(x,y),{g3},{x,y},'s3');ex3:=allvalues(s3);
> x4:=rhs(select(has,ex3[1],x)[1]):y4:=rhs(select(has,ex3[1],y)[1]):p3:=pieslice([x4,y4],0.05,0..2*Pi,color=red):t7:=textplot([x4,y4,`Y3`],align={BELOW,RIGHT},font=[TIMES,BOLD,14]):display(tr,p,p1,p2,p3,t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7);
> min(e1[1],e3[1]);max(e1[1],e3[1]);
