К разделу
ЛЕКЦИЯ 10 К СОДЕРЖАНИЮ

  1. Площадь криволинейной трапеции в декартовой системе координат.
  2. Площадь криволинейного сектора, ограниченной линией, заданной в параметрической форме.
  3. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат.
  4. Длина дуги кривой, заданной в декартовой системе координат.
  5. Длина линии, заданной параметрически.
  6. Вопросы для самопроверки.

Площадь криволинейной трапеции в декартовой системе координат.

    Пусть на плоскости Оху дана фигура, ограниченная отрезком [а, b] оси Ох, прямыми х = а, х = b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f ( x) на [ а, b]. Такую фигуру называют криволинейной трапецией и площадь её можно вычислить по формуле
   Доказательство. Разобьем отрезок [а, b] на n частей точками а = х0 < x1 < x2 <… < xi - 1< xi < … < xn = b, выберем на каждом частичном отрезке [ xi - 1, xi], i = 1, 2. … n, произвольно точку ξ i (xi - 1 ≤ ξ i ≤ xi) и рассмотрим ступенчатую фигуру. Ее площадь приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

где Δ x i = x i − x i - 1. Так как функция f (x) непрерывна [ а, b], то предел полученной интегральной суммы существует при и площадь S криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу от функции f (x) на [а, b]:

   Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = xα, α > 0 , прямой х = 1 и осью Ох.
   Решение. По формуле имеем
         Пусть на отрезке [ а, b] заданы две непрерывные функции y1 = f1(x) и y2 = f2(x), причем при всех значениях х из этого отрезка y1 ≤ y2. Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, а также прямыми х = а и х = b.
   Если обе функции неотрицательны, то площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных соответственно графиками функций y2 = f2(x), y1 = f1(x), прямыми х = а и х = b и осью абсцисс. Следовательно, площадь S данной фигуры можно найти так

   Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y1 = f1(x) = x и y2 = f2(x) = 2 − x2. (смотри рисунок.)
   Решение. На рисунке видно, что пределами интегрирования являются абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для нахождения пределов интегрирования решим систему уравнений
В результате получаем х1 = − 2, х2 =1 и находим искомую площадь

   Пример 3. Найти площадь, заключенную между параболой у = х2 − 2·х + 2, касательной к ней в точке (3; 5) и осью Оу.
    Решение. Уравнение касательной к кривой f(x) = x2 − 2· x +2 в точке (3; 5) имеет вид y − 5 = f ' (3)·(x − 3). Поскольку f ' (x) = 2·x − 2 и f ' (3) = 2·3 − 2 = 4, получаем уравнение касательной у − 5 = 4· (х − 3), или у = 4·х − 7. Так как ветви параболы направлены вверх, то парабола лежит над касательной, т.е. х2 − 2·х + 2 ≥ 4·х − 7  на отрезке [0, 3] (смотри рисунок.)
   Находим искомую площадь

Площадь криволинейного сектора ограниченной линией, заданной в параметрической форме.

   Пусть линия задана в параметрической форме
При изменении параметра t Î [α, β] радиус–вектор описывает криволинейный сектор. (смотри рисунок.)
   Разобьём интервал [α, β] на бесконечно малые отрезки α < t1 < t2 < … < tn - 1 < tn = β. Площадь криволинейного сектора приближённо равна сумме площадей треугольников:
.
При этом
.
Выполняя предельный переход и учитывая вид интегральной суммы, получим
.
Знак ± выбирается исходя из необходимости получить положительный результат.
   Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x = a·(t − sint), y = a·(1 − cost), 0 ≤ t ≤ 2·π и осью Ох. (смотри рисунок.)
   Решение. По формуле имеем

Таким образом S = 3·π·a2.

Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат

   Пусть кривая АВ задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ (φ), α ≤ φ ≤ β причем функция ρ(φ) непрерывна и неотрицательна на отрезке [α, β].
   Плоскую фигуру, ограниченную кривой АВ и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы α и β, будем называть криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора может быть вычислена по формуле
   Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [α, β] на n частей точками α = φ0 < φ1 < φ2 < … < φi - 1 < φi < … < φn = β Выберем на каждом частичном отрезке [φi - 1, φi], i = 1, 2,… , n, произвольно точку
ξi ( φi−1 ≤ ξi ≤ φi )
и построим круговые секторы с радиусами ρ (ξ i ). В результате получена веерообразная фигура, площадь которой будем считать приближенно равной площади криволинейного сектора:

где Δ φ i = φ i − φ i - 1. (смотри рисунок.)
   Таким образом, получена интегральная сумма σ для интеграла. Так как функция ρ2 (φ) непрерывна на отрезке [α, β], то предел этой суммы существует при
и площадь криволинейного сектора численно равна половине определенного интеграла от функции ρ2 (φ) на [α, β]:

   Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда ρ = а·φ, где а – положительное число. (смотри рисунок.)
   Решение. При изменении φ от 0 до 2π полярный радиус опишет кривую, ограничивающую криволинейный сектор ОАВС. Поэтому имеем

Заметим, что точка С отстоит от полюса на расстоянии ρ = 2·π·a. Поэтому круг радиуса ОС имеет площадь
,
т.е. площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, равна 1/3 площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому выводу пришел еще Архимед (смотри рисунок.).

Длина дуги кривой, заданной в декартовой системе координат.

   Пусть плоская кривая АВ задана уравнением у = f ( x), a ≤ x ≤ b, где f ( x) – непрерывная вместе со своей производной на отрезке [ а, b] функция. Разобьем кривую АВ на n произвольных частей точками А = М0, М1, М2, … , Mi - 1, Mi, …, Mn = B в направлении от А к В. Соединив эти точки хордами, получим некоторую вписанную ломанную линию, длину которой обозначим через Р. (смотри рисунок.)
   Обозначим через l i длину одного звена Mi - 1 Mi ломаной линии, а через μ — длину наибольшего из ее звеньев: .
   Определение. Число L называется пределом длин ломаных Р при μ → 0, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всякой ломаной, у которой μ < δ, выполняется неравенство | L − P | < ε.
   Если существует конечный предел L длин ломаных Р вписанных в кривую при μ → 0, то этот предел называется длиной дуги АВ:

Если функция f ( x) непрерывна вместе с f ' (x) на отрезке [а, b], то длина дуги АВ выражается формулой

   Доказательство. Обозначим через xi и f ( xi) координаты точек М i. Длина одного звена ломаной равна
По формуле Лагранжа конечных приращений имеем
,
Следовательно, , Δ xi = xi − xi − 1. Таким образом, длина ломаной равна
.
Так как функция непрерывна на [а, b], то предел суммы Р n при существует. Так как λ ≤ μ и λ → 0 при μ → 0, то
   Пример 6. Вычислить длину дуги полукубической параболы y = x3/2 от х = 0 до х = 5. (смотри рисунок.)
   Решение. Дифференцируя y = x3/2, находим . Следовательно, по выведенной формуле получим

Длина линии, заданной параметрически.

   В случае, когда кривая АВ задана параметрически x = φ (t), y = ψ (t), α ≤ t ≤ β, где α и β — значения параметра t, соответствующие значениям х = а и х = b, т.е. а = φ (α), b = φ(β), в формуле
надо сделать замену переменной, положив x = φ (t), dx = φ ' (t)·dt. Тогда получим

   Пример 7. Вычислить длину первого витка архимедовой спирали ρ = а·φ.
   Решение. Формулу, по которой можно вычислить длину линии в полярной системе координат, можно получить из предыдущей формулы, если положить, что x = ρ(t)·cos t, у = ρ(t)·sin t. Попробуйте вывести формулу самостоятельно. Первый виток архимедовой спирали образуется при изменении полярного угла φ от 0 до 2π. (смотри рисунок.)
   Искомая длина дуги равна (смотри возвратный интеграл)

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется криволинейной трапецией?
  2. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
  3. По каким формулам можно вычислить площадь фигур: а) в прямоугольных координатах; б) в полярных координатах; в) в случае параметрического задания границы?
  4. 4. Какое свойство определённого интеграла отражает аддитивное свойство площади?
  5. Что называется длиной дуги кривой?
  6. По каким формулам вычисляется длина дуги кривой: а) в прямоугольных координатах; б) если линия задана параметрически; в) если линия задана в полярных координатах?
  7. Чему равен дифференциал дуги? В чем состоит геометрический смысл дифференциала дуги?