Вычислить криволинейный интеграл второго рода
по периметру треугольника АВСА с вершинами А(1, 7), В(4, 10), С(5, 9), ответ округлить до сотых.
Р е ш е н и е. Построим треугольник. Так как криволинейный интеграл по линии равен сумме интегралов по участкам этой линии, то
 | . | (1) |
Вычислим каждый интеграл в правой части (1) отдельно. Для вывода уравнения каждой стороны треугольника воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки
.
Уравнение стороны АВ: − x + y − 6 = 0 запишем в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом y = x + 6. Применяя метод вычисления криволинейного интеграла второго рода в декартовых координатах, будем иметь
Уравнение стороны ВС: x + y − 14 = 0 запишем в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом y = - x + 14. Применяя метод вычисления криволинейного интеграла второго рода в декартовых координатах, будем иметь
Уравнение стороны СА: − x + 2·y − 13 = 0 запишем в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом
.
Применяя метод вычисления криволинейного интеграла второго рода в декартовых координатах, будем иметь
В силу (1) окончательно получим
.
Решение примера в пакете MAPLE
>restart:with(plottools):with(plots):with(geometry):
>point(A,1,7):point(B,4,10):point(C,5,9):
>> triangle(T,[A,B,C]):
>tr:=polygonplot(map(coordinates,DefinedAs(T)),axes=NORMAL,thickness=2):
>t1:=textplot([coordinates(A)[1],coordinates(A)[2],`A`],align={ABOVE,LEFT},font=[TIMES,BOLD,14],color=black):
>t2:=textplot([coordinates(B)[1],coordinates(B)[2],`B`],align={ABOVE,RIGHT},font=[TIMES,BOLD,14]):
>t3:=textplot([coordinates(C)[1],coordinates(C)[2],`C`],align={ABOVE,RIGHT},font=[TIMES,BOLD,14]):
>line(l1,[A,B]):line(l2,[A,C]):line(l3,[B,C]):
>EnvHorizontalName := x: _EnvVerticalName := y:Equation(l1);Equation(l2);Equation(l3);
>display(tr,t1,t2,t3);
>F:=[y/sqrt(x),x/y]:
>yAB:=solve(Equation(l1),y):
>diff(yAB,x):
>F1AB:=F[1]+F[2]*diff(yAB,x):
>F2AB:=subs(y=yAB,F1AB):
>int(F2AB,x); − Интеграл по участку АВ
>I1:=int(F2AB,x=coordinates(A)[1]..coordinates(B)[1]);evalf(%);
17.52661701
>> yCA:=solve(Equation(l2),y):
>> diff(yCA,x):
>F1CA:=F[1]+F[2]*diff(yCA,x):
>F2CA:=subs(y=yCA,F1CA):
>int(F2CA,x);
>I2:=int(F2CA,x=coordinates(C)[1]..coordinates(A)[1]);evalf(%);
- 20.19524278
>yBC:=solve(Equation(l3),y):
>diff(yBC,x):
>F1BC:=F[1]+F[2]*diff(yBC,x):
>F2BC:=subs(y=yBC,F1BC):
>int(F2BC,x);
>I3:=int(F2BC,x=coordinates(B)[1]..coordinates(C)[1]);evalf(%);
4.01462958
>I1+I2+I3;evalf(%);
1.34600383